DYSKALKULIE A JEJÍ REEDUKACE

autor:        Mgr. Jitka Křenková

e-mail:                dyskalkulie(zavinac)volny.cz

  1

5. Projekt Martin.. 61

5.1 Vztahy „před“ a „hned před“, „za“ a „hned za“. 63

5.2 Pravolevá orientace (PLO) 65

5.3 Zaokrouhlování přirozených čísel 66

5.3.1 Zaokrouhlování na desítky. 66

5.3.2 Zaokrouhlování na tisíce. 67

5.4 Porovnávání přirozených čísel pomocí zápisu v desítkové soustavě. 68

5.5 Sčítání 69

5.5.1 Sčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10. 69

5.5.2 Sčítání se sčítancem 0. 70

5.5.3 Sčítání dvojciferného čísla s jednociferným s přechodem přes základ. 71

5.5.4 Písemné sčítání 72

5.5.5 Procvičování 74

5.6 Odčítání 75

5.6.1 Odčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10. 75

5.6.2 Odčítání s menšitelem 0. 76

5.6.3 Odčítání jednociferného čísla od dvojciferného s přechodem přes základ. 77

5.6.4 Písemné odčítání 77

5.6.5 Procvičování 79

5.7 Násobení 83

5.7.1 Vyvození násobení 83

5.7.2 Malá násobilka. 84

5.7.3 Procvičování malé násobilky. 85

5.7.4 Pamětné násobení dvojciferného čísla číslem jednociferným.. 89

5.7.5 Písemné násobení 89

5.7.6 Reedukace. 91

5.7.7 Procvičování 97

5.8 Dělení 100

5.8.1 Vyvození operace dělení 100

5.8.2 Dělení v oboru násobilek do sta. 102

5.8.3 Procvičování 102

5.8.4 Dělení se zbytkem – pamětné. 103

5.8.5 Písemné dělení jednociferným dělitelem bez zbytku. 104

5.8.6 Písemné dělení jednociferným dělitelem se zbytkem.. 108

5.8.7 Písemné dělení dvojciferným dělitelem.. 109

5.8.8 Procvičování 115

5.9 Slovní úlohy. 118

5.10 Zlomky. 123

5.10.1 Rozdělování na části 123

5.10.2 Rovnost zlomků. 124

5.11 Příklady s více operacemi 125

5.11.1 Příklady se závorkou. 125

5.11.2 Příklady bez závorky. 125

5.12 Desetinná čísla. 127

5.13 Převody jednotek. 128

5.14 Příklady z pracovního sešitu. 130


5. Projekt Martin

Prostřednictvím pedagogicko-psychologické poradny jsem získala kontakt na základní školu, která mi umožnila práci s dyskalkulickým žákem, Martinem. Zaměřila jsem se na analýzu chyb, kterých se v matematice dopouští a na jejich následnou reedukace.

Ve 2. třídě se u Martina začaly objevovat obtíže ve čtení, psaní a počítání, a proto byl na žádost rodičů a doporučení školy vyšetřen v pedagogicko-psychologické poradně. Bylo zjištěno, že čte výrazně podprůměrně. Čte po slovech, tvary slov odhaduje nebo využívá dvojí čtení. Na stránce se špatně orientuje, text reprodukuje nepřesně, ale dokáže vystihnout podstatu. Má obtíže v rozlišování zrcadlově převrácených figur. Písemný projev je neúhledný, v průběhu psaní se mění velikost a výška písmen, škrtá, přepisuje. Chybuje i v přepisu diktátu. Vynechává písmena, diakritická znaménka, atd. Má potíže v určování i – y po tvrdých a měkkých souhláskách, v aplikaci pravopisných pravidel (vyjmenovaná slova a jim příbuzná). Při psaní je problematická koordinace hrubé i jemné motoriky. Sedá si na paty, klimbá nohama, atd. V matematice není zvládnut přechod přes desítku, počítá po jedné na prstech, malá násobilka není zautomatizovaná (při násobení i dělení počítá násobky postupně), při pamětném počítání zaměňuje matematické operace sčítání a odčítání, potíže má i s písemným počítáním, slovní úlohy řeší s mírnou dopomocí, dopouští se numerických chyb. Problematická je pravolevá orientace, pojmy „před – za“ jsou nezvládnuty (za číslem 19 je 18, před číslem 13 je 14, …).

Závěr speciálněpedagogického vyšetření zní, že u chlapce průměrně nadaného se jedná o  specifické vývojové poruchy učení: dyslexii, dysgrafii, dysortografii a operacionální dyskalkulii. Speciálněpedagogická práce vyžaduje individuální péči mimo vyučování 1 – 2krát týdně 30 – 45 minut. Péče by se měla zaměřit na rozvoj početních dovedností (řešení příkladů s přechodem přes desítku, procvičování malé násobilky), ponechat k dispozici názor (prsty, tabulku násobků, přibližně od 5. ročníku je možné pro numerické výpočty používat kalkulačku), v ČJ využívat kratších forem diktátů, doplňovacích cvičení, preferovat ústní zkoušení.

Nyní je Martin žákem 5. třídy. Některé obtíže, které se objevovaly ve 2. třídě se podstatně zlepšily, ale některé přibyly a to vlivem nové narůstající látky v matematice. Pokusila jsem se zjistit, jaké matematická učivo dělá Martinovi potíže. To nebylo až tak náročné. Obtížnější bylo zjistit, jakých postupů užívá k dosažení výsledku. Někdy sám popisoval jednotlivé kroky postupu v počítání, ale většinou ani nevěděl, jak k danému výsledku došel. Pak bylo poměrně problematické najít příčinu jeho špatného postupu. u některých příkladů Martin objasnil, jak postupoval. Některá jeho doslovná zdůvodnění zde uvedu v uvozovkách.ostatních příkladů se pokusím sama nalézt možný postup, kterým daný příklad počítal. u příkladů nejprve popíšu, jaké se v nich objevovaly chyby a pak objasním, jak jsem postupovala při nápravě a jak jsem příklady procvičovala. Pro přehlednost uvádím v závorce za chybně vypočítaným příkladem správný výsledek úlohy.

Nejprve se zaměřuji na vztahy „před – za“, na pravolevou orientaci, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Tyto pojmy se řadí do numerace. Stručně uvádím, že pod pojmem numerace rozumíme vytváření pojmu přirozeného čísla, vytváření skupin o daném počtu prvků, čtení a zápis čísel, porovnávání čísel, zaokrouhlování čísel atd. Zvládnutí numerace je předpokladem pro osvojení znalostí o operacích. Ještě před tím, než jsem přistoupila k jednotlivým typům příkladů, zajímalo mě, jestli s Martinem někdo z rodičů doma počítá. Dozvěděla jsem se, že počítá sám na počítači. Počítačový program, s kterým pracuje, se nazývá KLASIK. Program je zaměřen jak na matematiku, tak na český jazyk. Příklady, které jsou správně vypočítané, počítač zatrhne, chybné příklady ponechá bez zatržení.

 

5.1 Vztahy „před“ a „hned před“, „za“ a „hned za“

 

Ve zprávě z pedagogicko-psychologické poradny je uvedeno, že pojmy „před – za“ Martin nezvládá.

Do sešitu, který byl určen pro tuto hodinu, jsem napsala za sebou čísla 15, 16, 17. Na otázku, jaké číslo je napsáno hned před číslem 16, odpověděl číslo 17 (15). v následující hodině jsem mu zadala úkol, aby správně doplnil mřížky (obr. 11) (příloha 11).

Doplnil je bezchybně. Na otázku, jaké číslo je hned před číslem 17, odpověděl číslo 18 (16). Potom, co jsem mu řekla, ať se nad tím zamyslí, odpověděl číslo 17 (16), ne, číslo 16. Na otázku, jaké číslo je hned za číslem 69, odpověděl číslo 70?, ne, číslo 68.

Je možné, že Martin nechápe význam pojmů „před – za“ ani vzhledem ke své osobě. Pokládala jsem mu otázky. Co je za tebou? Co je před tebou? Martin na ně odpovídal dobře. z toho vyplývá, že se neorientuje pouze v číselné řadě.

 

17

 

 

20

 

 

30

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

66

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92

 

 

95

 

 

 

89

 

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

obr. 11

 

Následně jsem na lavici rozmístila kartičky s čísly lícem dolů (příloha 26). Martin otočil kartičku s číslem 48 a já kartičku s číslem 52. Měl říct, kam má číslo 52 dát, jestli před číslo 48 nebo za něj. Postupně jsme otáčeli další kartičky a z nich vyšla řada čísel 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53. Martin ji uspořádal bezchybně, nedokázal však určit, jestli např. číslo 50 leží před číslem 48 nebo za ním. Na otázku, jaké číslo je hned za číslem 46, odpověděl číslo 45 (47), což je chybná odpověď.

Pomůcka: Číslo hned před daným číslem je o jednu menší a číslo hned za daným číslem je o jednu větší. Při neustálém opakování pomůcky odpovídal správně. Když jsem ji přestala opakovat, odpovídal chybně (hádal). V další hodině s těmito pojmy neměl problémy. Na otázku, jaké číslo je hned za čísle 64, odpověděl 65. a hned za číslem 65 odpověděl 66 a za číslem 66 odpověděl 67. Napsala jsem číslo 31. Napsat číslo, které je před číslem 31 a za číslem 31, se mu podařilo dobře.

Závěr: Martin nechápe význam pojmů „před“ a „hned před“, „za“ a „hned za“ v řadě čísel. Pokud jsem mu tyto pojmy předem objasnila, na položené otázky odpovídal dobře, ale když jsem ho s těmito pojmy předem neseznámila, nebyl si se svými odpověďmi jistý a hádal.

 

5.2 Pravolevá orientace (PLO)

 

Připravila jsem si dvojciferná a trojciferná čísla, které jsem Martinovi diktovala. 42, 548, 654, 39, 731,938, 79, 28, 401, 500, 695, 969, 965, 456, 893. Chtěla jsem zjistit, zda mu nečiní potíže zápis čísel v desítkové soustavě. Jestli je schopen zápisu čísel podle diktátu, zápisu číslic v čísle ve správném pořadí, zda zapisuje číslice správně atd.

Závěr: Zápis čísel v desítkové soustavě zvládá, přestože v pedagogicko-psychologické poradně byla diagnostikována problematická PLO.


5.3 Zaokrouhlování přirozených čísel

 

a) Martinovi jsem zadala úkol. Zaokrouhli tato čísla na desítky.

42 @ 40

124 @ 120

35 @ 40

256 @ 260

68 @ 70

 

Zaokrouhlování bylo bezchybné.

b) O několik dnů později paní učitelka zadala dětem písemnou práci, kde se objevil úkol: Zaokrouhli dané číslo 19 083 576

1) na stovky 19 084 000 (19 083 600)

Místo na stovky zaokrouhloval na tisíce.

2) na desetitisíce 19 070 000 (19 080 000)

Číslo 3 zaokrouhluje dolů tak, že snižuje předchozí číslo o jednu.

Problém: Projevila se porucha v chápání poziční desítkové soustavy.

c) V návaznosti na písemnou práci jsme s Martinem procvičovali další příklady.

 

5.3.1 Zaokrouhlování na desítky

– zaokrouhlování dolů

V následujících příkladech snižuje předcházející číslo o jednu.

42 @ 30 (40)

74 @ 60 (70)

124 @ 110 (120)

6 728 592 @ 6 728 580 (6 728 590) „Zaokrouhlování se řídí číslem 2 a to se zaokrouhluje dolů.“

Vysvětlení: Čísla 1, 2, 3, 4 sice zaokrouhlujeme dolů, ale číslo před nimi nesnižujeme o jednu, to zůstává stejné.

6 128 592 zaokrouhleno na miliony je 5 000 000, pak se opravil na 6 000 000

9 426 211 na miliony je 9 000 000

– zaokrouhlování nahoru

35 @ 40

68 @ 70

256 @ 260

6 728 592 @ 6 728 600 (6 728 590)

Domníval se, že do řádu desítek patří číslo 5, které je v řádu stovek. Společně jsme řád desítek našli odpočítáním řádů zprava doleva.

 

5.3.2 Zaokrouhlování na tisíce

842 265 @ 840 000 (842 000)

Zaokrouhloval na desetitisíce.

7 892 378 @ 7 892 000

Závěr: Martinovi pravděpodobně připadá logické, když čísla 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme nahoru a řád před nimi zvětšujeme o jednu, tak se u čísel 1, 2, 3, 4, která zaokrouhlujeme dolů, musí řád před nimi o jednu snižovat. Po vysvětlení se na toto pravidlo soustředil, a když udělal chybu, sám si ji ještě před mým upozorněním uvědomil. Porucha v chápání poziční desítkové soustavy se objevovala neustále. Domnívám se, že to byl důsledek únavy, nepozornosti nebo vliv nedostatečné výuky. Bohužel nevím, jak bylo učivo vysvětleno.

 

5.4 Porovnávání přirozených čísel pomocí zápisu v desítkové soustavě

 

Tvrdil, že je to jednoduché a opravdu tomu tak bylo. Velice rychle a správně dokázal znaménka <, >, = položit mezi čísla na kartičkách (obr. 12) (příloha 15).

 

 

 

 

 

<

=

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150

 

145

 

2463

 

1436

 

541

 

492

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4596

 

3596

 

5648

 

5639

 

1261

 

1260

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

377

 

377

 

213

 

113

 

23

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

863

 

863

 

 

 

 

obr. 12

 

 

5.5             Sčítání

 

Nyní se dostáváme k základním matematickým operacím (sčítání, odčítání, násobení, dělení). Řešení matematických operací je pro řadu dětí poměrně složitým procesem, a proto musí být vyvozeny a upevněny velmi pečlivě.

 

5.5.1 Sčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10

Domino sčítání (obr. 13) (příloha 16)

Pomůcky: Kartičky jsou rozdělené čarou, na jedné polovině se nachází příklad a na druhé součet jiného příkladu. Martin musel k příkladům najít správné výsledky a přiložit je k sobě.

 

 

 

 

6+9

15

3+8

11

7+7

14

8+9

17

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

8+5

 

 

 

 

 

 

9+7

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

18

9+9

12

6+6

15

8+7

11

4+7

 

 

 

obr. 13

 

8 + 9 = 17 počítá: číslo 8 rozloží na 6 a 2, 9 + 6 = 15 a 15 + 2 = 17

Následně jsem zadala stejný příklad se zaměněnými sčítanci.

9 + 8 = 17 počítá: 9 + 9 = 18 a 18 – 1 = 17

8 + 7 = 15 počítá: 8 + 8 = 16 a 16 – 1 = 15

4 + 8 = 12 počítá : číslo 4 rozloží na 2 a 2, 8 + 2 = 10 a 10 + 2 = 12

V návaznosti obdržel příklad s přehozenými sčítanci 8 + 4. Neměl problémy s výpočtem.

Závěr: Domino Martin sestavil správně, i když u některých příkladů dlouho přemýšlel. Jeho pomalé tempo při počítání bylo pravděpodobně způsobeno nepochopením funkčnosti rozkladu při sčítání s přechodem. I přes to používá logické vztahy. To svědčí o obecnějším chápání sčítání v některých případech. Opírá se o spoje, kde jsou si rovni sčítanci.

 

5.5.2 Sčítání se sčítancem 0

0 + 3 = 0 (3)

0 + 12 = 0 (12)

5 + 0 = 0 (5)

24 + 0 = 0 (24)

Problém: Nechápe význam čísla 0 při operaci sčítání.

Vysvětlení: Já mám 0 bonbónů a ty máš 3 bonbóny. Kolik jich máme dohromady? Odpověděl 3 bonbóny. Tím jsme došli společnými silami k příkladu 0 + 3 = 3. Za úspěch považuji Martinovo samostatné zjištění, že ostatní příklady vypočítal také chybně.

0 + 6 = 6

65 + 0 = 65

0 + 12 = 12

Po týdnu opět dělal v těchto příkladech chybu.

3 + 0 = 0 (3)

0 + 12 = 0 (12)

Závěr: Po vysvětlení na konkrétním případu s bonbóny Martin počítal dobře. Po týdnu opět dělal tytéž chyby. Došla jsem k závěru, že nechápe význam čísla 0 při operaci sčítání. Pravděpodobně zde dochází k záměně s násobením nulou. Zřejmě nebyl dostatečně vysvětlen význam nuly při operaci sčítání.

 

5.5.3 Sčítání dvojciferného čísla s jednociferným s přechodem přes základ

78 + 6 = 84 počítá: 8 + 6 = 14 (v duchu si ukáže 8 prstů a 6 prstů počítá po jedné)

64 + 9 = 73

27 + 6 = 33

57 + 8 = 65

76 + 8 = 68 (84) Došlo k záměně operace, počítá 76 – 8.

34 + 7 = 41

Závěr: Příklady je schopen vypočítat bezchybně, chybu většinou udělá z nepozornosti, ale znovu se zde odráží nepochopení funkčnosti rozkladu při sčítání s přechodem.

 

5.5.4 Písemné sčítání

– bez přechodu přes základ

 

125

× 42

350

569

6040

 

 

 

 

(167)

 

 

 

Problém: Jednotkami druhého z činitelů (číslo 2) vynásobil jednotky a desítky prvního z činitelů a řád stovek sečetl nebo zde byl uplatněn nadbytečný přechod. Druhý řádek sčítal. Příklad počítal z poloviny jako násobení. Došlo zde k přenosu algoritmu násobení, což mohlo způsobit současné probírání této látky.

Řekla jsem Martinovi, jestli je možné, aby sečtením těchto dvou čísel vyšlo tak velké číslo. Odpověděl, že ne a počítal znovu.

 

125

 42

167

 

 

 

 

Sečetl dobře, ale chtěl počítat další řádek jako u násobení.

Vysvětlení: Sčítáš čísla, která jsou pod sebou (jednotky s jednotkami, desítky s desítkami, …).

 

207

 21

228

575

324

899

8753

 134

8887

2463

4516

6979

 

– s přechodem přes základ

 

128

 96

124

 

 

 

(224) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám.

 

Problém : Nechápe přechod mezi desítkami a  stovkami.

Upozornila jsem ho na přechodem přes desítku, na správný postup.

 

356

437

793

 

496

378

874

 

955

268

1223

 

 

 

101

 84

105

 

 

(185) Počítá 0 + 8 = 0.

 

 

Závěr: Po určité době Martin zapomíná postup, jakým se příklad počítá. Po jeho zopakování si ho připomene a počítá dobře.

 

5.5.5 Procvičování

– pamětné a písemné sčítání

Pyramidy (obr. 14) (příloha 5)

Pomůcky: Předkreslená schémata pyramid.

V dolní části pyramidy jsou zapsaná čísla. Každou dvojici sousedních čísel sečteme a jejich součet zapíšeme do čtverečku nad nimi. Ve sčítání pokračujeme tak dlouho, dokud není pyramida postavená.

 

obr. 14

 

Závěr: S pamětným sčítáním a s algoritmem písemného sčítání Martin neměl problémy. Hra zvýšila jeho pozornost.

 


5.6 Odčítání

 

5.6.1 Odčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10

14 – 9 = 5

12 – 9 = 3

16 – 7 = 9

15 – 7 = 8

Problém: Při počítání zpaměti si představuje prsty a odpočítává je po jedné. Nechápe funkčnost rozkladu při operaci odčítání.

 

Domino odčítání (obr. 15) (příloha 17)

Pomůcky: Kartičky jsou rozdělené čarou, na jedné polovině se nachází příklad a na druhé rozdíl jiného příkladu. Martin musel k příkladům najít správné výsledky a přiložit je k sobě.

 

 

6

15-6

9

 

 

 

 

 

14-8

 

12-5

 

 

 

 

8

 

7

 

 

 

 

17-9

 

11-9

2

12-7

5

 

3

 

 

 

 

13-9

 

11-8

8

12-4

6

13-7

4

 

obr. 15

 

Závěr: Domino Martin sestavil správně, ale u některých příkladů dlouho přemýšlel. Pomalé tempo je pravděpodobně způsobeno nepochopením funkčnosti rozkladu při odčítání s přechodem.

 

5.6.2 Odčítání s menšitelem 0

6 – 0 = 0 (6)

8 – 0 = 0 (8)

37 – 0 = 0 (37)

Problém: Nechápe význam čísla 0 při operaci odčítání.

Vysvětlení: Položila jsem 6 bonbónů na lavici. Když od šesti bonbónů odeberu 0 bonbónů, kolik jich zbyde? Tak jsme dospěli k příkladu 6 – 0 = 6. Martin samostatně přišel na chybu v ostatních příkladech.

7 – 0 = 7

4 – 0 = 4

V následujících hodinách podobné příklady počítal opět chybně.

5 – 0 = 0 (5)

11 – 0 = 0 (11)

Závěr: Nebylo v mých možnostech zjistit, jestli to je chyba zapříčiněná dyskalkulií nebo nesprávným vysvětlením při prvním setkání se s učivem. Také může jít o transfer z násobení.

 

5.6.3 Odčítání jednociferného čísla od dvojciferného s přechodem přes základ

37 – 9 = 28

45 – 7 = 38

23 – 9 = 14

64 – 6 = 58

82 – 5 = 77

 

Závěr: Opět se zde odráží nepochopení funkčnosti rozkladu při odčítání s přechodem. Martin si v duchu představuje prsty a odpočítává je po jedné.

 

5.6.4 Písemné odčítání

Zadala jsem příklady:

– bez přechodu přes základ

 

58

– 32

26

 

zk.:    26

32

80

 

 

 

(58)

 

 

Martin postupoval správně, ale při zkoušce udělal numerickou chybu 2 + 6 = 10 (8). Na základě zjištění, že mu zkouška nevychází, počítal celý příklad znovu. Sám došel k závěru, že udělal chybu ve zkoušce.

 

84

– 33

51

 

zk.:      51

33

84

 

47

– 25

22

 

zk.:      22

25

47

 

 

398

– 46

352

 

zk.:      352

  46

398

 

 

 

- s přechodem přes základ

 

63

– 27

76

 

 

 

(36)

 

zk.:      76

  27

103

 

 

 

(63)

 

Problém: Půl příkladu sčítá a půl odčítá. Zpočátku počítal dobře (7 a kolik je 13), pak počítal nejprve 2 a kolik je 6, to je 4, 4 + 2 = 6, 6 a 1 je 7.

Vysvětlení: Nikdy nesmíš zapomenout přičíst desítky. „Drž si je na palci“.

 

73

– 69

04

 

zk.:      4

69

73

 

275

– 46

229

 

zk.:      229

  46

275

 

431

– 59

472

 

 

 

(372) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám.

 


 

91

– 36

65

 

 

(55)

zk.:      65

36

91

 

 

(101)

 

Nepřičetl jednu desítku k desítkám. u zkoušky tuto chybu opakoval.

 

Závěr: Nechápe přechod mezi jednotkami a desítkami v algoritmu písemného sčítání a odčítání.. Objevuje se zde stejný problém jako u písemného sčítání. Když podobné příklady po určitou dobu nepočítá, zapomíná jejich postup.

 

5.6.5 Procvičování

– písemné odčítání

Věž (obr. 16) (příloha 8)

obr. 16

Pomůcky: Předkreslená schémata věží.

Do střechy věže napíšeme libovolné trojciferné číslo (každá cifra jiné hodnoty). z nich utvoříme největší a nejmenší číslo a odečteme je od sebe. z číslic rozdílu opět vytvoříme největší a nejmenší číslo. Čísla od sebe odečteme.

U první věže jsem výchozí číslo (576) zadala sama. Martin správně určil největší (765) a nejmenší (567) číslo.

 

765

– 567

2

 

 

(198) Záměna operací.

 

Po upozornění, že se jedná o příklad na sčítání, počítal dobře.

V ostatních věžích si volil výchozí čísla sám. u rozdílu (číslo 198) určil za největší číslo 891, po mém zaváhání se opravil na číslo 981.

531

– 135

386

 

 

(396) Početní chyba při odčítání řádu desítek.

 

Závěr: Martin si neosvojil algoritmus písemného odčítání. Chyby, kterých se dopouští jsou převážně způsobené nesoustředěností. Přiznal se mi, že ho tato hra nebaví. Očividně v počítání spěchal a to je také důvodem chybných výpočtů.

 

– pamětné sčítání a odčítání dvojciferného čísla s jednociferným

Utajený obrázek (obrázek 17) (příloha 1)

Pomůcky: Schéma se čtvercovou sítí (10 x 10), příklady.

 

obr. 17

14 – 9 =

11 – 5 =

9 + 10 =

38 + 12 =

 

6 × 10 =

86 – 7 =

87 + 9 =

88 + 7 =

 

66 + 6 =

43 + 8 =

34 + 7 =

7 + 5 =

 

18 + 6 =

43 – 8 =

39 + 5 =

25 + 8 =

32 – 5 =

42 – 4 =

53 – 6 =

6 × 6 =

38 + 4 =

71 – 8 =

83 – 8 =

68 + 8 =

59 + 9 =

51 – 2 =

76 – 9 =

58 + 6 =

 

Žák vypočítá všechny příklady. Výsledky těchto příkladů spojuje po řadě čarami ve čtvercové síti. Pokud jsou příklady správně vypočítané, vznikne z těchto spojených čar obrázek.

11 – 5 = 8 (6)

18 + 6 = 23 (24)

58 + 6 = 63 (64)

87 + 9 = 16 (96) Sečetl pouze jednotky, na desítky zapomněl.

Závěr: Chyby, kterých se Martin dopouští, jsou způsobeny nepochopením funkčnosti rozkladu při sčítání a odčítání. Podílí se na nich z velké části i jeho nepozornost.

 

Domečky (obr. 18) (příloha 7)

Pomůcky: Nakreslená schémata domečků.

Martinovi jsem vyprávěla, že v domečku spolu začala bydlet dvě čísla. Na půdě se zabydlel rozdíl těchto čísel a ve sklepě součet těchto čísel. Součet a rozdíl se po nějakém čase rozhodli přestěhovat a postavili si svůj vlastní domeček. a u nich se brzy zase zabydlel jejich součet a rozdíl a tak to pokračovalo pořád dál.

obr. 18

 

128

– 96

132

 

 

(32) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám.

 

Závěr: Kromě jedné chyby Martin vyřešil příklady správně. Počítání se mu zdálo nezábavné.

 

5.7 Násobení

 

5.7.1 Vyvození násobení

Pomůcky: knoflíky a zásobník na led (7 ´ 3)

Zadala jsem úkol:

Vypočítej kolik je v zásobníku čtverečků bez počítání po jedné. Martin odpověděl 3 ´ 7 = 21. Jak to vypočítáš jinak? Představ si, že neumíš násobit. Nevěděl. Mohli bychom použít sčítání? Příklad jsem musela vyslovit sama. 7 + 7 + 7 = 21 Zeptala jsem se, jestli bychom mohli kromě „sedmiček“ sčítat i jiná čísla, pokud se jedná o příklad 3 ´ 7. Výraz v jeho obličeji napovídal, že nemá tušení. Proto jsem mu pomohla 3 +. Dořekl sám 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21. Vrátila jsem se k příkladu 7 + 7 + 7 = 21. Položila jsem Martinovi otázku, jestli bychom příklad mohli počítat jiným způsobem. Martin nevěděl jak. Řekla jsem 3 ´ 7, protože číslo 7 je v příkladu napsáno třikrát. Následně jsem zadala příklad 2 + 2 + 2 = 6. Přemýšlel a pak odpověděl 6 ´ 2. Pravděpodobně počítal: 2 + 2 + 2 = 6 a výsledek vynásobil 2.

V následující hodině jsem Martinovi zadala stejný úkol. Jak bychom mohli příklad 2 + 2 + 2 = 6 počítat ještě jinak? Martin odpověděl stejně jako minule 6 ´ 2. Teď jsem si nebyla jistá, jestli chápe pojem „n – krát“, proto jsem řekla: 3krát zatleskej, 4krát zadupej. s tím neměl žádné problémy.

Vysvětlení: Opět jsme se vrátili ke stejnému příkladu 2 + 2 + 2 = 6. Řekni, kolikrát je tam číslo 2 napsáno? „Třikrát“. z toho Martin dokázal vyvodit příklad 3 ´ 2 = 6. Pak jsem mu dávala příklady podobného typu 4 + 4 = 8 z toho 2 ´ 4 = 8, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 z toho 4 ´ 6 = 24.

Závěr: Neustále jsme vycházeli z názoru a vše jsme zapisovali do sešitu. Zjistila jsem, že Martin těžce chápe vyvození násobení, souvislost mezi násobením a sčítáním mu není jasná. Po vysvětlení byl schopen samostatně určit správný příklad. Domnívám se však, že příklady vytvářel automaticky podle těch předchozích.

 

5.7.2 Malá násobilka

Martinovi jsem říkala příklady a on je měl zpaměti počítat.

6 ´ 7 = 32, 36 (42)

7 ´ 8 = 42 (56)

Závěr: V případě, kdy se jednalo o příklady s násobky menších čísel (1, 2, 3, 4) Martin počítal rychle, u příkladů s násobky větších čísel (5, 6, 7, 8, 9) dlouho přemýšlel a výsledky hádal. Při počítání se dívá na prsty a násobky počítá postupně.

Zadala jsem úkol:

Napiš násobky sedmi.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

Závěr: Psal pomalu, musel hodně přemýšlet a násobky od čísla 35 odpočítával po jedné na prstech.

 

5.7.3 Procvičování malé násobilky

Loto (obr. 19) (příloha 18)

Pomůcky: Tabulka s příklady, kartičky s výsledky, které společně tvoří obrázek.

Danou tabulku s příklady pokrýváme kartičkami s výsledky a to tak, že na každý příklad položíme kartičku se správným výsledkem. Po pokrytí celé tabulky kartičky s výsledky otočíme. Pokud byly příklady správně vypočítané, vznikne celistvý obrázek.

 

 

 

 

 

 

42

 

37

 

56

6 ´ 7

8 ´ 4

7 ´ 8

 

 

 

 

 

 

 

5 ´ 8

8 ´ 8

5 ´ 7

 

 

40

 

64

 

35

9 ´ 6

6 ´ 8

9 ´ 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

 

48

 

63

obr. 19

Nejprve na příklad váhavě položil výsledek s číslem 35.

7 ´ 8 = 35 (56)

Následně na řádku pod příkladem uviděl 5 ´ 7. Pochopil, že příklad 7 ´ 8 musí mít jiný výsledek. Začal odpočítávat po násobcích čísla 7.

9 ´ 7 = 54 (63)

9 ´ 6 = 63 (54)

Po otočení výsledků nebyl obrázek správně sestaven. Martin znovu přepočítal chybné příklady, k nimž přiložil správný výsledek.

Závěr: Martin počítá velice pomalu a nejistě. Chyby, kterých se dopouští, jsou zapříčiněné nezautomatizovanou násobilkou. Jediný způsob, jak chyby odstranit, je neustálé procvičování příkladů tohoto typu a automatizování spojů násobilky. I přes potíže v počítání ho hra velice zaujala.

 

Černý Petr (příloha 19)

Pomůcky: 9 karet s příklady a 9 karet se součiny.

Z karet, na kterých jsou napsané příklady, vybereme jednu kartu (s příkladem 9 ´ 4) a odložíme ji stranou. Karta s výsledkem (součinem) příkladu, zde číslo 36, je Černý Peter. Nyní všechny karty (s příklady i s výsledky) zamícháme a rozdáme. Pokud má hráč v ruce příklady a výsledky, které k sobě patří, odloží je stranou. Potom si jeden hráč vybere jednu kartu od spoluhráče, aniž by do jeho karet viděl. Pokud má k této kartě dvojici, může ji vyřadit a odložit. Potom se role hráčů vymění. Prohrává ten, kterému v ruce zůstala karta Černý Petr, v tomto případě karta s číslem 36.

Na kartách jsou napsány převážně příklady s násobky čísel 6, 7, 8, 9.

9 ´ 4 = 36

9 ´ 9 = 81

8 ´ 9 = 72

7 ´ 3 = 21

6 ´ 4 = 24

9 ´ 7 = 63

7 ´ 8 = 56

6 ´ 7 = 42

6 ´ 9 = 54

 

Závěr: Hra zvýšila Martinův zájem o dané učivo, i když nemalou úlohu hrála skutečnost, že často vyhrával.

 

Bludiště (obr. 20) (příloha 2)

Pomůcky: Schémata bludišť.

cesta vede po násobcích čísla 7

obr. 20

Martin má v bludištích najít cestu z místa a do místa B. Vždy musí vstupovat jen na sousední políčko, a to tak, aby cesta vedla v prvním případě po násobcích čísla 4, v druhém případě po násobcích čísla 7 a v třetím případě po násobcích čísla 8.

Problém: Martin se spletl u násobků čísla 7, myslel si, že násobkem čísla 7 je číslo 45.

 

Matematický vetřelec (obr. 21) (příloha 4)

Pomůcky: Tabulky s čísly.

Mezi čísly v políčkách měl Martin najít ukrytého „matematického vetřelce“, to je číslo, které mezi ostatní nepatří. Martinovým úkolem bylo zjistit, které číslo to je a proč tam nepatří.

 

obr. 21

 

Problém: Číslo 54 přeškrtnul. Podle něj to není násobek čísla 9. 5 ´ 8 = 48 (45) pravděpodobně si spletl s příkladem 6 ´ 8 = 48. V tomto případě může jít o zvukovou asociaci, kdy dítě ulpívá na druhém z činitelů a podle něj určí číslici řádu jednotek součinu.

Závěr: Hry Domino a Matematický vetřelec Martina velice zaujaly a vedly ho k většímu soustředění.

5.7.4 Pamětné násobení dvojciferného čísla číslem jednociferným

Zadala jsem příklady:

34 ´ 2 = 68 počítá: (30 ´ 2) + (4 ´ 2)

25 ´ 2 = 50

25 ´ 4 = 100

34 ´ 3 = 102

Závěr: U všech příkladů využívá stejného a správného postupu.

 

5.7.5 Písemné násobení

– bez přechodu přes základ:

 

12

 ´ 32

34

 

 

(384)

 

 

 

Problém: Postupuje jako u sčítání, ale čísla mezi sebou násobí.

Martinovi jsem připomněla postup písemného násobení a příklad jsme počítali znovu společně.


 

12

 ´ 32

24

36

384

23

 ´ 21

23

46

483

 

 

 

– s přechodem přes základ:

 

17

 ´  8

136

46

 ´ 35

30

138

1410

 

 

Nenapsal číslici nejvyššího řádu.

 

(1610)

 

372

 ´  64

28

 

 

 

(23808)

 

 

 

Problém: Násobí pouze jednotky jednotkami (číslem 4), pak už násobí desítkami. Příklad nebyl schopen dopočítat, nevěděl jak dál.

Závěr: Spoje násobení mu nedělají potíže, ale algoritmus nezvládá.

 

5.7.6 Reedukace

Nyní už nestačilo zopakovat postup při počítání. Musela jsem přistoupit k jednotlivým krokům, jakými bych Martina navedla na algoritmus písemného násobení.

 

a) Násobení čísly 10k, kde k je přirozené číslo

 5 ´ 10 = 50

 12 ´ 10 = 120

 24 ´ 10 = 240

 24 ´ 100 = 2400

Vysvětlení: Když násobíme deseti připíšeme k násobenému číslu jednu nulu. Když násobíme stem, připíšeme dvě nuly, atd. i když Martin spočítal příklady bezchybně, přiznal se mi, že tuto pomůcku neznal.

V následující hodině jsem zadala příklady.

65 ´ 1000 = 650 (65000) „Přidám jednu nulu.“

Když jsem řekla, že to není správný výsledek, chtěl nuly ubrat,

ale pak se opravil a vypočítal příklad správně.

65 ´ 10 = 650

65 ´ 100 = 6500

Závěr: Chybné počítání je pravděpodobně ovlivněno nepozorností nebo únavou.

 

b) Chtěla jsem zjistit, jestli Martin umí lépe počítat v praxi.

Pokládala jsem mu otázky:

Nakupuješ? „Ano, sám.“ Umíš si vypočítat, kolik máš zaplatit a kolik peněz ti má být vráceno?

pomůcky: modely peněz (obr. 22) (příloha 20)

 

obr. 22

 

Koupíš 2 lízátka po 10 korunách. 10 + 10 = 20

Můžeš to vypočítat jinak? 2 ´ 10 = 20

9 balíčků sušenek po 10 korunách. 9 ´ 10 = 90

4 balíčky bonbónů po 12 korunách. 12 ´ 4 = 48 počítá: (10 ´ 4) + (2 ´ 4)

Závěr: Martin počítá správně a dokáže říct, kolik mu má být vráceno, když platí vyšší bankovkou.

 


c) Násobení jednociferným číslem bez přechodu

1. krok

 

12

12

12

12

48

23

23

23

69

 

42

42

84

 

 

 

 

2. krok – Můžeme předcházející příklady vypočítat jinak?

 

12

 ´ 4

48

23

 ´ 3

69

42

 ´ 2

84

 

 

d) Násobení jednociferným číslem s přechodem přes základ

 

23

 ´ 4

92

36

 ´ 2

72

54

 ´ 6

324

 

 

 

 

23

 ´ 9

201

 

 

 

(207) Chybně vynásobil řád jednotek.

 

e) Násobení dvojciferným činitelem, který je násobkem čísla 10

 

3. krok

 

12

 ´ 40

40

 

 

(480)

 

 

 

Problém: Využívá algoritmu písemného sčítání, ale čísla mezi sebou násobí.

Počítali jsme společně.

 

12

 ´ 40

00

48

400

 

 

 

 

(480) Počítal 8 + 0 = 0, po upozornění se opravil.

 

Vysvětlení: Není nutné násobit nulou všechna čísla, stačí ji opsat a dále násobit hned desítkami.

 

23

 ´ 30

690

 

 

 

 

Tomuto postupu nevěřil, proto příklad vypočítal ještě jednou.

 

23

 ´ 30

00

69

600

 

 

 

 

 

(690) Počítá 9 + 0 = 0.

42

 ´ 20

840

 

 

 

 

f) Násobení dvojciferným činitelem

 

4. krok

 

42

 ´ 21

42

 

 

(882) Počítá 1 ´ 2 = 2 a 2 ´ 2 = 4.

 

Počítali jsme znovu. v příkladu jsem udělala šipky, které značí postup při počítání.

 

42

 ´ 21

8442

 

 

(882)

 

 

 

 

 

 

 

Problém: Nedodržuje zásadu, že na pozici jednoho řádu můžeme zapsat pouze jednu číslici.

Závěr: Nepamatuje si algoritmus písemného násobení dvojciferným číslem.

Protože Martinovi nepomohly ani šipky, které jsem v příkladu udělala, musela jsem napsat příklady, které obsahují šipky a čtverečky (obr. 23a) (příloha 13). Každý čtvereček náleží jednomu číslu. Význam má i barevné odlišení druhého z činitelů. Červená barva je barvou jednotek a modrá barva je barvou desítek. Tyto typy příkladů Martinovi velice pomohly. Šipky ho naváděly k vynásobení všech čísel a čtverečky ho směřovaly k psaní pouze jedné číslice na místo jednoho řádu a upozorňovaly ho, kolik bude v čísle řádů.

 

obr. 23a

obr. 23b

 

V příloze 14 (obr. 23b) uvádím příklady pouze se čtverečky, bez barevného rozlišení. Zde už Martin musí znát správný algoritmu, ale čtverečky ho ještě stále upozorňují na psaní jedné číslice na místo jednoho řádu.

 

5.7.7 Procvičování

– písemné násobení

Únik z obklíčení (obr. 24) (příloha 9)

Pomůcky: Nakreslené schéma.

Martin má za úkol vynásobit čísla 37 násobky čísla 3. Pokud vypočítá vše, dostane se z obklíčení.

 

obr. 24

 

37

 ´ 12

44

 

 

(444)

 

 

 

 

 

 

 

Problém: Příklad chtěl opět počítat stejným postupem jako u písemného sčítání, akorát čísla mezi sebou násobil.

Hned jsem Martina zastavila a ukázala jsem příklady, které jsme počítali v příloze 13. Vzpomněl si na správný postup a už se nepletl.

 

37

 ´ 15

185

48

565

 

 

 

 

(555)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problém: Polovinu příkladu násobil a polovinu sčítal.

Po znovu objasnění postupu počítal bezchybně.

Martin přišel na princip hry. Pokud násobím číslo 37 násobky čísla 3, vždy se s postupujícím násobkem zvětší v součinu každý řád čísla o jednu.

Závěr: Nechápe poziční desítkovou soustavu, algoritmy se mu pletou. Bez pochopení přenáší postupy z jednoho příkladu do druhého.

 


– pamětné a písemné násobení

Pyramidy (obr. 25) (příloha 6)

Pomůcky: Předkreslená schémata pyramid.

V dolní části pyramidy jsou zapsaná čísla. Každou dvojici sousedních čísel vynásobíme a jejich součin zapíšeme do čtverečku nad nimi. v násobení pokračujeme tak dlouho, dokud není pyramida postavená.

 

obr. 25

Závěr: Domnívala jsem se, že Martin bude mít s algoritmem písemného násobení potíže, ale k žádným chybám nedošlo.

 

– pamětné sčítání, odčítání a násobení

Větší bere (příloha 21)

Pomůcky: Karty s příklady.

Po rozdání karet si každý hráč položí svoje karty na hromádku lícem dolů. Všichni hráči otočí ze své hromádky jednu kartu. Komu vychází největší výsledek, bere si všechny otočené karty a odloží je stranou. Až hráči vyčerpají všechny karty, spočítají si ty získané. Vyhrává hráč s největším počtem karet.

 

66 – 8

4 ´ 7

44 – 7

56 + 9

6 ´ 7

9 ´ 6

21 – 9

63 + 7

7 ´ 9

7 ´ 8

32 – 4

42 + 9

8 ´ 6

73 – 5

88 + 6

77 + 9

4 ´ 8

91 – 3

24 + 7

16 – 9

8 ´ 9

82 – 5

96 + 8

39 + 7

Závěr: Hra byla velice úspěšná a v Martinovi vyvolala zájem o učivo.

 

5.8 Dělení

 

5.8.1 Vyvození operace dělení

Pomůcky: Bonbóny.

Zadala jsem úkol:

21 bonbónů chci rozdělit mezi tři děti tak, aby všechny měly stejný počet bonbónů. Jak to udělám? Martin nevěděl. Proto jsem zvolila lehčí zadání s menším počtem bonbónů. 6 bonbónů chci rozdělit mezi tři kamarády tak, aby všichni měli stejný počet bonbónů. Martin si vzal do ruky 6 bonbónů a řekl 6 ´ 2 a to se rovná 12. Položila jsem mu otázku. Kolik máš v ruce bonbónů? Odpověděl 6. Nedokázal však vysvětlit, proč počítal 6 ´ 2. Proto jsme navrhla, ať každému dává po jednom bonbónu až mu v ruce nic nezbyde. Tak jsme zjistili, že každý dostane tři bonbóny.

Když bonbóny nechceme rozdělovat po jednom, ale chceme vypočítat hned, kolik každý z kamarádů dostane bonbónů, jak to vypočítáme? Martin tvrdil, že to jde rozdělit jenom po jedné. Proto jsem mu napověděla. Co kdybychom to vydělili? Martin odpověděl 2 : 2 = 1, 2 : 2 : 2 = 2. Sama jsem řekla, že se to vypočítá 6 : 3 = 2. Martin prohlásil, že si na to nemohl vzpomenout.

 Následující hodinu jsem zadala úkol:

a) 16 bonbónů rozděl po dvou. Tento příklad Martinovi nedělal problémy.

b) 16 bonbónů rozděl mezi dva kamarády .Martin začal bonbóny rozdělovat na hromádky po třech a pak po jedné.

c) Jak to uděláš, abys je nemusel takhle zdlouhavě rozdělovat, abys věděl hned, kolik jich máš každému dát. Můžeme to vypočítat? Martin vyslovil přiklad 8 ´ 8 a pak se opravil na 16 : 8. Vysvětlení ale nedokázal podat.

Domnívám se, že si v duchu vydělil 16 : 2 = 8 a nahlas řekl příklad, v kterém byl obsažen výsledek. Dávala jsem mu pak příklady s takovými čísly, u kterých bude mít obtíže vypočítat polovinu. 142 bonbónů rozděl mezi dva kamarády. Příklad nevypočítal. Pravděpodobně nebyl schopný vypočítat v duchu 142 : 2 podobně, jako v předchozím příkladu. Společně jsme tedy došli k závěru, že rozdělování po jednom není vždy vhodné. Vrátili jsme se k 16 bonbónům. Znovu jsem zadala úkol. 16 bonbónů chci rozdělit dvěma kamarádům. Martin odpověděl správně, 16 : 2. Znovu jsme si ujasnili, proč 16 vydělit dvěma. 6 bonbónů rozděl mezi nás dva. Martin hned rozdělil bonbóny po třech. Jak to vypočítáš? Odpověděl 3 ´ 2, ale neví proč. Řekl správný příklad až po nápovědě. 6 rozdělím mezi nás dva, 6 dělím mezi dva. Slyšíš operaci, kterou použiješ?

Závěr: Martin nechápe význam operace dělení.

 

5.8.2 Dělení v oboru násobilek do sta

48 : 6 = 8     27 : 3 = 9     63 : 7 = 9     56 : 8 = 7     49 : 7 = 7

1 : 1 = 1       4 : 1 = 4       18 : 6 = 3     30 : 5 = 6     81 : 9 = 9

45 : 5 = 9     21 : 3 = 7     5 : 0 = 0       (nulou nelze dělit)

 

Závěr: Martin počítá pomalu, odpočítává násobky, ale ke správnému výsledku dojde. Znovu zde platí pravidlo – neustále procvičovat. Nevěděl, že nulou nelze dělit.

 

5.8.3 Procvičování

– dělení v oboru do sta

Černý Petr (příloha 22)

Pomůcky: 11 karet s příklady a 11 karet s podíly.

Z karet, na kterých jsou napsané příklady, vybereme jednu kartu (s příkladem 42 : 6) a odložíme ji stranou. Karta s výsledkem (podílem) příkladu, zde s číslem 7, je Černý Peter. Nyní všechny karty (s příklady i s podíly) zamícháme a rozdáme. Pokud má hráč v ruce příklady a výsledky, které k sobě patří, odloží je stranou. Potom si jeden hráč vybere jednu kartu od spoluhráče, aniž by do jeho karet viděl. Pokud má k této kartě dvojici, může ji vyřadit a odložit. Pak se role hráčů vymění. Prohrává ten, kterému v ruce zůstala karta Černý Petr, v tomto případě karta s číslem 7.

56 : 8 = 7     48 : 8 = 6     72 : 9 = 8     24 : 3 = 8     28 : 7 = 4

32 : 8 = 4     49 : 7 = 7     54 : 6 = 9     27 : 3 = 9     24 : 4 = 6

42 : 6 = 7

Závěr: Hra se Martinovi velice líbila, ale byla pro něj obtížnější než Černý Petr na procvičování malé násobilky.

 

5.8.4 Dělení se zbytkem – pamětné

Pomůcky: Kartičky s příklady (příloha 23)

Kartičky byly položené na hromádce lícem dolů. Martin je po jedné otáčel.

18 : 5 = 3

3

15 : 6 = 12 (2, zb.3) Pravděpodobně si řekl v duchu 15 : 6 = 2. Ví, že 6 ´ 2 = 12, avšak místo čísla 2 zvolil za výsledek číslo 12.

 

26 : 8 = 3

2

 

51 : 7 = 7

2

 

34 : 9 = 4 (3, zb. 7)

 

63 : 8 = 5, 6, 9 (7, zb.7) Výsledek hádá.

 

43 : 5 = 8

3

 

94 : 9 = 10

4

 

50 : 6 = 8

2

 

 

23 : 7 = 7 (3, zb.2) Tvrdí, že nejbližší číslo je 26.

2

 

Závěr: U některých příkladů je prakticky nemožné zjistit způsob vzniku chyby. Jedná se o „výsledky beze smyslu“. Chybných výsledků se pravděpodobně dopouští z důvodu nezautomatizované malé násobilky.

 

5.8.5 Písemné dělení jednociferným dělitelem bez zbytku

– dělitel je obsažen v první cifře dělence.

48 : 3 = 

Nahlas řekl 3 ´ 8. Tvrdil, že začal od zkoušky. Pak ale zaváhal a počítal jinak, 4 : 8. „Napadlo mě to.“ Nevěděl, jakým způsobem má ke správnému výsledku dojít, tak jsme počítali společně.

 

48 : 3 = 16

18

0

 

Zkouška: 16 ´ 48. Pak řekl, že se spletl a zkoušku vypočítal dobře. Když jsem Martinovi vysvětlila postup při písemném dělení. Počítal bez vážných problémů.

 

84 : 6 = 14

24

0

zk.:    14

 ´  6

84

96 : 8 = 12

16

0

 

zk.: 96 : 12 = 8

 

 

 

 

Vysvětlení: U dělení budeme dělat zkoušku násobením, protože to je jednodušší.

Závěr: Nechápe princip zkoušky a inverznost násobení a dělení.

 

48 : 3 = 16

18

0

zk.:    16

 ´  3

48

 

 

 

 

 

 

 


– v první cifře dělence je obsažený dělitel větší než jedna.

 

 

208 : 8 = 26

48

0

 

zk.:    26

 ´  8

208

 

96 : 3 = 32

06

0

 

zk.:    32

 ´  3

96

 

62 : 2 = 31

02

0

 

zk.:    31

 ´  2

62

 

84 : 4 = 21

04

0

 

zk.:    21

 ´  4

84

 

 

76 : 4 = 18

36

0

 

(19)

 

 

 

zk.:    18

 ´  4

72

 

 

 

 

 

Závěr: Po objasnění postupu počítá dobře. Zkouška pro něj není formální záležitostí. Pomocí ní je schopen dojít ke zjištění, že příklad vypočítal chybně.

 

– dělitel je obsažen v prvním dvojčíslí dělence

 

102 : 6 = 17

42

0

zk.:    17

 ´ 6

102

 

 

 

 

 

 

 

Ví, že 1 : 6 nemá řešení v oboru přirozených čísel, a proto musí zatrhnout číslo 10.

 

156 : 3 = 52

06

0

zk.:    52

 ´ 3

156

144 : 6 = 24

24

0

zk.:    24

 ´ 6

144

 

344 : 4 = 86

24

0

 

zk.:    86

 ´ 4

344

 

294 : 7 = 42

14

0

 

zk.:    42

 ´ 7

294

 

Po týdnu jsem opět zadala podobné příklady.

 

318 : 6 = 4

78

 

 

 

 

 

 

 

Příklad nedopočítal. Nevěděl, jak má postupovat dál, proto jsme počítali společně.

 

318 : 6 = 53

18

0

zk.:    53

 ´ 6

318

356 : 4 = 89

36

0

zk.:    89

 ´ 4

356

 

252 : 6 = 42

12

0

 

 

zk.: 252 : 42 = 6

 

 

 

 

 

 

Závěr: Martin zapomíná postupy, protože je nemá upevněné.

 

5.8.6 Písemné dělení jednociferným dělitelem se zbytkem

 

62 : 4 = 15

22

2

zk.:    15

 ´ 4

60

 

 

 

 

 

 

 

Myslí si, že mu zkouška nevyšla, zapomíná přičíst zbytek.

 

78 : 5 = 15

28

3

zk.:    15

 ´ 5

75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opět zapomněl přičíst zbytek.

 

157 : 6 = 26

37

1

zk.:    26

 ´  6

156

156

 1

157

 

 

 

 

 

432 : 7 = 61

12

5

 

zk.:    61

 ´  7

427

 

427

 5

432

 

 

 

 

754 : 9 = 83

34

7

 

zk.:    83

 ´  9

747

 

747

 7

754

 

 

 

 

 

5.8.7 Písemné dělení dvojciferným dělitelem

- Nejprve jsme počítali příklady, kdy je dělitel obsažen v prvních dvou cifrách dělence jednou.

 

253 : 23 = 11

023

00

zk.:    11

 ´ 23

33

22

253

lépe:    23

´ 11

 

 

 

 

 

Nevěděl, jak má udělat zkoušku. Poradila jsem mu.

 

352 : 32 = 11

032

00

 

zk.:    11

 ´ 32

22

33

352

lépe:   32

´ 11

 

 

594 : 54 = 11

054

00

 

zk.:    11

 ´ 54

44

55

594

 

lépe:    54

´ 11

 

 

456 : 38 = 12

076

00

 

zk.:    12

 ´ 38

96

36

456

 

lépe:    38

´ 12

 

 

432 : 36 = 12

072

00

 

 

zk.:    36

 ´ 12

72

36

432

 

 

 

36 a kolik je 43 – Při počítání se dívá na prsty.

 

266 : 19 = 14

076

00

zk.:    14

 ´ 19

126

14

266

216 : 18 = 12

036

00

zk.:    12

 ´ 18

96

12

216

 

312 : 24 = 13

72

0

 

 

zk.:    13

 ´ 24

52

26

312

 

lépe:     24

´ 13

 

 

 

 

 

 

 

– dělitel je obsažen v prvních dvou cifrách dělence dvakrát.

 

775 : 31 = 25

155

0

 

zk.:    25

 ´ 31

25

75

775

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62 a kolik je 77 – Počítá po jedné na prstech.

 

– příklady s odhady částečných podílů

Postupům u předcházejících příkladů byl Martin schopen do jisté míry ještě porozumět a některé vypočítal bez mé pomoci, ale nyní se dostáváme k příkladům, které jsou nad jeho možnosti. Paní učitelka ve své třídě začala probírat novou látku, písemné dělení dvojciferným číslem, a mě požádala, abych to Martinovi vysvětlila a vypočítala s ním několik příkladů, které jsou uvedené v podkapitole 5.14. Jelikož byly příklady z pracovního sešitu těžké a Martin nebyl schopen je bez mé pomoci vypočítat, vypracovala jsem tři kroky, kterými jsem chtěla procvičit problematické úseky těchto příkladů, což byly odhady částečných podílů.

 

1.krok

 

180 : 20 = 90 (9)

00

0

 

Škrtnul nejprve obě nuly, ale pak s nimi opět počítal, 0 : 2 = 0.

 

120 : 60 = 20 (2)

00

0

 

Udělal stejnou chybu jako v předcházejícím příkladu.

 

2.krok – přípravný příklad

 

182 : 20 = 9

02

 

Chtěl škrtat nulu, ale nevěděl proč.

128 : 60 = 2

08

 

Závěr: Tyto příklady jsou pro Martina náročné, není schopný je vypočítat sám. Nedokáže odhadnout, kolikrát je dělitel obsažen v dělenci. Neumí vypočítat zbytek.

 

3.krok

 

182 : 24 = 9 zb.24 (7, zb. 14)

 

Problém: Jednotky dělence a dělitele zakryl a vypočítal 18 : 2 = 9 a zbytek jsou tato zakrytá čísla. Opět neví, jak udělat zkoušku.

 

182

 ´ 9

1638

 

Došel k závěru, že u tohoto příkladu nelze zkoušku udělat.

Počítali jsme společně.

 

182 : 24 = 7

14

 

7 ´ 4 = 28 a kolik je 32. Nerozumí tomu, kde se vzalo číslo 32.

 

128 : 67 = 1

61

 

Problém: Neví, jak se počítá zkouška. Chce dělit 128 : 1. Pak neví, co se zbytkem.

Závěr: Pro Martina je obtížné odhadnout částečný podíl.

Poučka: Zbytek je menší než dělitel.

 

5589 : 23 = 243

98

69

0

 

zk.:    243

´ 23

729

486

5589

 

 

 

 

 

2814 : 42 = 6 (67)

41

 

Příklad počítal samostatně, ale nedopočítal ho, nemohl přijít na správný postup.

Počítal : 6 ´ 4 = 24 a kolik je 28, 41 : 24 = 6 – to byla zkouška, jestli má číslo 6 dobře.

Počítali jsme společně:

 

2814 : 42 = 67

294

0

 

zk.:    67

´ 47

134

268

2814

 

 

 

 

Závěr: Algoritmus písemného dělení je velice obtížný. Martin nebyl schopen odhadnout částečný podíl. Je zde moc činností najednou a to Martin těžko zvládá. Proto je pro něj vhodné, používat k výpočtům kalkulátoru.

 

5.8.8 Procvičování

– pamětné násobení a dělení

Zbav se karet (příloha 24)

Pomůcky: Karty s příklady a karty s výsledky.

Všechny karty s příklady rozdáme a karty s výsledky necháme položené na hromádce lícem dolů. z hromádky odebereme jednu kartu např. s číslem 8, a otočíme ji. Pokud má někdo v ruce příklad, který náleží tomuto výsledku, položí ho na něj. Vyhrává ten, který se první zbaví karet.

5 ´ 8 = 40    72 : 9 = 8     6 ´ 7 = 42    45 : 5 = 9

5 ´ 6 = 30    42 : 7 = 6     9 ´ 3 = 27    63 : 9 = 7

8 ´ 4 = 32    27 : 3 = 9     7 ´ 8 = 56    14 : 2 = 7

3 ´ 6 = 18    48 : 8 = 6     9 ´ 6 = 54    30 : 6 = 5

 

Bingo (obr. 26) (příloha 10, 25)

Pomůcky: Schéma čtvercové sítě s čísly, kartičky s příklady.

 

obr. 26

 

54 : 6 = 9     9 ´ 7 = 63    56 : 7 = 8     7 ´ 4 = 28

16 : 4 = 4     8 ´ 6 = 48    45 : 9 = 5     3 ´ 7 = 21

42 : 6 = 7     8 ´ 9 = 72    24 : 3 = 8     5 ´ 6 = 30

32 : 8 = 4     2 ´ 8 = 16    27 : 9 = 3     9 ´ 2 = 18

18 : 3 = 6     5 ´ 8 = 40

Každý hráč má jednu čtvercovou síť (tabulku). Na hromádce leží srovnané příklady lícem dolů, ty otáčíme po jednom. Kdo najde výsledek otočeného příkladu ve své tabulce, škrtne ho. Vítězem se stává ten, který má první zaškrtaná všechna čísla v tabulce.

 

– pamětné sčítání, odčítání, násobení a dělení

Kdo má víc? (příloha 27)

Pomůcky: Karty s příklady a s výsledky.

Na zem položíme do kruhu karty s příklady (lícem nahoru) a doprostřed kruhu výsledky (lícem nahoru). Vyhrává hráč, který sesbírá nejvíce příkladů se správnými výsledky.

 

23 – 7 = 16

49 + 4 = 53

9 ´ 3= 27

100 ´ 14 = 1400

51 – 3 = 48

57 + 6 = 63

8 ´ 6= 48

64 : 8 = 8

34 – 0 = 34

6 ´ 7 = 42

7 ´ 9 = 63

56 : 7 = 8

25 + 0 = 25

8 * 9 = 72

3 ´ 0 = 0

30 : 6 = 5

73 + 8 = 81

4 ´ 7 = 28

25 ´ 10 = 250

45 : 5 = 9

 

Závěr: Uvedené hry Martina silně motivovaly a zvětšovaly jeho pozornost a soustředěnost.

 

5.9 Slovní úlohy

 

Vymyslela jsem řadu slovních úloh na základě metodiky (2), pomocí kterých jsem chtěla zjistit Martinovu schopnost porozumět textu, orientovat se v zadání úlohy, rozebrat zadání a převést ho do matematického vyjádření.

 

1. Martin a Jirka dostali kapesné. Martin dostal 20 Kč a Jirka 60 Kč.

a) Kolik Kč dostali dohromady?

20 + 60 = 80

b) O kolik Kč má Jirka více než Martin?

„60 : 20“, pak se opravil na 60 – 20 = 40, ale nevěděl, co tím vypočítal.

c) O kolik Kč má Martin méně než Jirka?

60 – 20 = 40

d) Kolikrát více Kč má Jirka než Martin?

„3krát, o 4, o 2krát více – 2 ´ 20 = 40, 3 ´ 20 = 60“

e) Kolikrát méně Kč má Martin než Jirka?

60 : 20 = 3

 

2. Martin má v peněžence 45 Kč, Jirka má o 25 Kč více. Kolik Kč mají dohromady?

45 + 25 = 70 „Vypočítal jsem, kolik Kč mají dohromady. Teď to musím vydělit.“

 

3. Jirka má 62 Kč, Martin má o 6 Kč méně. Kolik Kč mají dohromady?

62 – 6 = 56            62 + 56 = 118

 

4. Jirka má 98 Kč, což je o 9 Kč více, než má Martin. Kolik Kč mají dohromady?

98 – 9 = 89            98 + 89 = 187

 

5. Martin má 50 Kč, což je o 35 Kč méně, než má Jirka. Kolik Kč mají dohromady?

Martin nevěděl, jak má počítat.

Vysvětlení: Martin má 50 Kč, to je o 35Kč méně, než má Jirka. Z toho vyplývá, že Jirka má o 35 Kč více. To ho navedlo ke správnému výpočtu.

50 + 35 = 85                   50 + 85 = 135

 

6. Martin má 20 Kč, Jirka má čtyřikrát více Kč než Martin. Kolik Kč má Jirka?

4 ´ 20 = 80            „Jirka má o 4krát více“

 

7. Jirka má 50 Kč, Martin má dvakrát méně než Jirka. Kolik Kč má Martin?

50 : 2 = 10 (25)      50 : 2 = 100 „Škrtnu nulu.“

50 : 2 = 4 Opravil podíl s číslem 4 na 2.

50 : 2 = 2 Pak připsal 0.   50 : 2 = 20

Problém: Zapomněl algoritmus písemného dělení.

Počítali jsme společně.

50 : 2 = 25

10

0

 

8. Martin má 30 Kč, Jirka má dvakrát více Kč než Martin. Kolik Kč mají dohromady?

2 ´ 30 = 60            60 + 30 = 90

 

9. Jirka má 60 Kč, Martin má třikrát méně Kč než Jirka. Kolik Kč mají dohromady?

60 : 3 = 20             60 + 20 = 80

 

10. Jirka má 60 Kč, což je dvakrát více, než má Martin. Kolik Kč mají dohromady?

60 : 2 = 30             60 + 30 = 90

 

11. Martin má 30 Kč, což je dvakrát méně, než má Jirka. Kolik Kč mají dohromady?

30 : 2 „Je to přece dvakrát méně, proto dělím. Když by tam bylo více, musím násobit. Ale předcházející příklad je dobře.“ Vysvětlení: Martin má 30 Kč, to je dvakrát méně, než má Jirka. Jirka tedy musí mít dvakrát více než Martin.

Po vysvětlení na správné řešení přišel.

30 ´ 2 = 60            60 + 30 = 90

 

12. Tři kamarádi Martin, Jirka a Tomáš se chtějí vypravit na nákup. Kolik peněz mají dohromady, jestliže:

a) Jirka má 60 Kč, Martin má o 30 Kč méně než Jirka, Tomáš má o 30 Kč více než Jirka?

Tomáš: 60 + 30 = 90

Martin: 60 – 30 = 30

90 + 60 + 30 = 180

b) Jirka má 60 Kč, Martin má dvakrát méně než Jirka a Tomáš má třikrát více Kč než Martin?

Věděl, že nejprve musí vypočítat, kolik Kč má Martin. 60 – 30 „Kdyby to bylo dvakrát více, pak má 120.“ Nakonec na správný příklad přišel sám.

Martin: 60 : 2 = 30

Tomáš: 3 ´ 30 = 90

90 + 60 + 30 = 180

c) Jirka má 60 Kč, Martin má dvakrát méně než Jirka a Tomáš má o 50 Kč více než Martin?

Martin: 60 : 2 = 30

Tomáš:30 + 50 = 80

60 + 30 + 80 = 170

 

Závěr: Slovní úlohy Martin řeší s mírnou dopomocí. v zadání úloh se špatně orientuje a nezvládá rozbor úlohy. To má za následek náhodnou volbu početních operací. Špatná orientace v zadání je podle mého mínění z části způsobena dyslexií, která byla v pedagogicko-psychologické poradně diagnostikována společně s dyskalkulií, dysortografií a dysgrafií. Proto jsem Martinovi každou úlohu přečetla a společně jsme ji rozebrali. Odpověď formuloval ústně, protože následkem dysgrafie má potíže se psaním. Objevovaly se chyby ve vztazích „o n více“, „o n méně“, „n – krát více“, „n – krát méně“. Tyto pojmy se Martinovi pletou. z toho vyplývá, že mu dělají problémy úlohy na porovnávání. Uznávám však, že děti, které netrpí dyskalkulií, s těmito vztahy mají také problémy. u každé úlohy jsem se snažila využívat názoru (modely peněz) a grafického znázornění pomocí úseček nebo obdélníků, ale ne vždy to Martinovi pomohlo.

 

5.10 Zlomky

 

5.10.1 Rozdělování na části

Kruhy v příloze 12 znázorňují koláče. Martin je rozděloval na části. Zadávala jsem úkoly:

První koláč rozděl na dvě stejné části a jednu z nich vybarvi.

Druhý koláč rozděl na čtyři stejné části a jednu z nich vybarvi.

Třetí koláč rozděl na osm stejných částí a jednu z nich vybarvi.

Další koláč rozděl na tři stejné části. Rozdělil ho tímto způsobem (obr. 27).

 

obr. 27

 

Ptala jsem se, jestli tyto tři části musí být stejné. Odpověděl ano.

Na kolik částí jsi rozdělil první koláč? „Na čtyři.“

Kolik částí jsi vybarvil? „Jednu část.“

Tak jsme společně došli ke zlomku . Stejným způsobem jsme popsali i ostatní vybarvené části. Nejprve jsme zapisovali jmenovatel zlomku (na kolik částí jsme koláč rozdělili) a následně čitatel zlomku (kolik částí jsme vybarvili).

Závěr: Rozdělování koláče na stejné části nebylo pro Martina obtížné. Na tři stejné části koláč nedokázal rozdělit. Domnívám se, že si pouze nemohl vzpomenout, jak se koláč na tři stejné části rozděluje. Po zapsání jedné poloviny, jedné čtvrtiny, atd., jsem se ptala, jak těmto číslům obecně říkáme. Věděl, že jde o zlomky, a že části celku jsou stejné. Objevil se zde ještě jeden drobný problém. Nevěděl, jak zapsat jednu polovinu.

 

5.10.2 Rovnost zlomků

Opět jsme pracovali s přílohou 12.

Zadala jsem:

Jednu polovinu koláče rozděl na dvě stejné části. Co vzniklo? Odpověděl, dvě čtvrtiny.

Jednu čtvrtinu rozděl na dvě stejné části. Martin nevěděl, jaké části vznikly.

Napsali jsme společně rovnosti:

Podle výrazu v jeho obličeji jsem zjistila, že tomu nerozumí. Proto jsem na příští hodinu vystříhala z papíru kruhy (příloha 28). Ty měly znázorňovat koláče. Martin rozstřihl jeden koláč na polovinu a jednu polovinu z něj rozstřihl na dvě části (na dvě čtvrtiny). Když jsme tyto dvě čtvrtiny položily na jednu polovinu, Martin zjistil, že jsou tyto části stejné. z toho pochopil, že se jedna polovina rovná dvěma čtvrtinám.

Stejným způsobem pochopil i další rovnosti:

Pak jsme se vrátily k příloze 12, kde už Martin sám dokázal určit, které zlomky se sobě rovnají.

 

5.11 PŘÍKLADY s VÍCE OPERACEMI

 

5.11.1 Příklady se závorkou

21

(15 + 6) – 10 = 11

Věděl, že nejprve musí vypočítat závorku a teprve potom odečíst číslo 10.

4

5 ´ (8 – 4) = 20

Je zvyklý psát nad závorku výsledek. Příklad už znovu neopisuje.

 

5.11.2 Příklady bez závorky (obr. 28) (příloha 3)

6 ´ 9 + 6 = 54 + 6 = 60             6 + 6 ´ 9 = 12 ´ 9 Nejprve sčítá.

 

57 + 13 + 8 =

obr. 28

 

Po mé nápovědě, co má přednost, si uvědomil, že počítal chybně a příklad opravil.

 

6 + 6 ´ 9 = 54 + 6 = 60 Nedodržuje pořadí čísel v příkladu.

32 – 7 ´ 4 = 28 – 32 „To nejde vypočítat. Musím počítat 32 – 7.“

15 + 21 : 3 = 7 + 15 = 22 Opět nedodržuje pořadí čísel v příkladu.

26 – 3 ´ 4 = 26 – 12 = 14 „12 – 26 nejde vypočítat, musím počítat 26 – 12“

5 ´ 4 ´ 10 = 20 ´ 10 = 200

48 : 6 + 63 : 7 = 8 + 9 = 17

 

Vysvětlení: Nad příklad, který má přednost napíšeš jeho výsledek a pak musíš příklad znovu opsat v tom pořadí, jak je napsán.

40

5 ´ 8 – 4 = 40 – 4 = 36

24

8 + 6 ´ 4 = 8 + 24 = 32

6

7 + 12 : 2 = 7 + 6 = 13

 

Závěr: Martin nechápe prioritu operací a pořadí početních výkonů. Uchyluje se k jiným způsobům řešení. Příklady počítá správně od té chvíle, když si výsledek operace, která má přednost, napíše nad ní a pak znovu opíše celý příklad.

 

5.12 DESETINNÁ ČÍSLA

 

Martinovi jsem zadala několik příkladů, které počítal samostatně.

 

2,3 + 4,2 = 6,5 počítá: 2 + 4 = 6, 3 + 2 = 5

4,3 + 8,2 = 12,5 počítá: 4 + 8 = 12,3 + 2 = 5

2,6 + 4,9 = 6,15 (7,5) počítá: 2 + 4 = 6, 6 + 9 = 15

4,6 + 8,9 = 12,15 (13,5) počítá: 4 + 8 = 12, 6 + 9 = 15

 

Vysvětlení: Příklad s chybným výsledkem 2,6 + 4,9 jsme pro kontrolu vypočítali na kalkulačce. Martin se divil, proč mu vyšel jiný výsledek, než je uveden na kalkulačce. Začal příklad přepočítávat opět špatným postupem. Upozornila jsem ho, že tento postup je chybný. Příklady jsme řešili jiným způsobem. Počítali jsme s čísly přirozenými, 26 + 49 = 75. v předcházejícím příkladu se sčítají čísla, která mají za desetinnou čárkou jedno desetinné místo. Proto u čísla 75 oddělíme jedno místo. o správnosti výsledku jsme se přesvědčili na kalkulačce. Ostatní příklady jsou uvedené v podkapitole 5.14.

Závěr: Martin nerespektuje zákonitosti počítání s desetinnými čísly, protože nechápe pojem desetinného čísla. Znovu musíme vyvodit na základě desetinného zlomku.

 

5.13 PŘEVODY JEDNOTEK

 

36 m = … cm

Martin si s příkladem nedokázal poradit. Zjistila jsem, že neví, kolik má metr centimetrů. Na krejčovském metru viděl, že jeden metr má sto centimetrů. Uvedený příklad však nevypočítal. Po nápovědě, že musí násobit 100 příklad vypočítal.

 

36m = 3600 cm

245m = 24500 cm

52m = 5200 (52000) mm

Nebere v úvahu, že počítá s jinými jednotkami Nevěděl kolik má jeden metr milimetrů. Ukázka na krejčovském metru mu nepomohla. Neviděl zde vztah 1m = 1000 mm. Po nápovědě, že musí násobit 1000 příklad vypočítal správně.

 

78 m = 78000 mm

 

V následujících příkladech jsem jednotky převedla z menších na větší, ale Martin tuto změnu nerespektoval.

 

78000 mm = 78000000 (78) m

3600 cm = 3600000 (36) m

 

Formální pomůcka: Když převádíš z větších jednotek na menší, tak násobíš. Když převádíš z menších na větší, tak dělíš.

 

152 cm = 1,56 m

200 mm = 2 (0,2) m Nebere v úvahu, že počítá s jinými jednotkami

892 mm = 0,892 m

1162 m = 1,162 km

 

Závěr: Převody jednotek Martin nechápe. Na krejčovském metru jednotlivé vztahy nevidí. Jednotky převádí automaticky, podle daného vzoru. Pomůcka mu pomohla, ale musela jsem ji  opakovat při každém příkladu. Nebyl schopen dojít k výsledku sám.

 

5.14 PŘÍKLADY z PRACOVNÍHO SEŠITU

 

Na žádost paní učitelky jsem s Martinem řešila příklady z pracovního sešitu (Matematika 2.díl pro 5. ročník, nakladatelství Prodos), které společně s dětmi počítala při hodině.

 

– dělení dvojciferným číslem

Pro děti to byla nová látka. Podle mého názoru jsou příklady v sešitu velice náročné na uvedení do nové látky.

 

 

4536 : 14 = 324

33

56

0

 

 

zk.:      324

 ´  14

1296

324

4536

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problém: Martin nepochopil postup: 3 ´ 4 = 12 a kolik je 15. Nechápal, proč je číslo 5 (v dělenci 4536) změněno na číslo 15. Proto jsme počítali 3 ´ 14 = 42 a kolik je 45. Tomu už rozuměl.

 

27104 : 32 = 847

150

224

00

zk.:      847

 ´  32

1694

2541

27104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problém: Pro Martina bylo velice těžké určit první číslici podílu, to jest kolikrát je obsaženo číslo 32 v čísle 271. Nevěděl, jak má příklad počítat. Nepomůže si odhadem, ani zkrácením.

Vysvětlení: Napsala jsem samostatně příklad 271 : 32. Čísla v tomto příkladu si můžeme zaokrouhlit tak, že dostaneme 270 : 30. Martin už byl schopný říct, že to vypočítáme jako 27 : 3 = 9.

32 ´ 9 = 288, proto 32 bude obsaženo v 271 osmkrát.

 

50076 : 52 = 963

327

156

00

zk.:      963

 ´  52

1926

4815

50076

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vysvětlení: Napsala jsem samostatně 500 : 52. Příklad můžeme zjednodušit na 500 : 50. Číslo 52 zaokrouhlíme na 50. Můžeme vypočítat 50 : 5 = 10. v příkladu je ale dělitel 52 a ten je obsažen v 500 devětkrát.

 

 

184896 : 72 = 2568

408

489

576

00

 

zk.:      2568

 ´  72

5136

17976

184896

 

 

 

 

 

226032 : 48 = 4709

340

43

432

00

 

zk.:      4709

 ´  48

37672

18836

226032

 

 

 

Závěr: Příklady jsou natolik náročné, že je Martin není schopen vypočítat sám, a proto jme je řešili společně. Při hodině matematiky tyto příklady počítá na kalkulačce, aniž by znal postup, jakým dojdeme k výsledku při pamětném počítání.

 

– sčítání desetinných čísel

Ve sloupci bylo napsáno 24 příkladů na sčítání desetinných čísel. Paní učitelka mi řekla, že je mám s Martinem vypočítat na kalkulačce. Domnívám se, že se jedná pouze o to, aby Martin vypočítal, jedno jakým způsobem, příklady, které jsou v sešitu. Že to nemá žádný smysl, je vedlejší.

Několik příkladů jsme s Martinem řešili zpaměti, aby pochopil, jak se počítají a při ostatní jsme použili kalkulačku.

 

2,3 + 1,2 = 3,5 počítá : 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, příklad vyjde 3,5. 4,1 + 3,9 = 7,10 (8) počítá 4 + 3 = 7, 9 + 1 = 10, příklad se rovná 7,10.

 

Po kontrole na kalkulačce nám příklad vyšel 8. Martin se tomu velice divil. Příklad jsme počítali stejným způsobem (nejprve s přirozenými čísly) jako v podkapitole 5.12.

1,34 + 1,12 = 2,46

Kolik míst musíš oddělit teď? „Dvě.“

 

6,4 + 5,8 = 12,2

11,6 + 2,7 = 14,3

15,5 + 14,5 = 30

37,1 + 12,8 = 49,9

1,9 + 21,3 = 23,2

8,6 + 0,9 = 9,5

47,2 + 20,3 = 67,5

156,4 + 10,8 = 167,2

12,6 + 250,4 = 263

45,5 + 45,5 = 91

 

Závěr: Postup, kterým jsme nyní příklady počítali, se osvědčil.

 

– odčítání desetinných čísel

Opět jsme měli řešit tyto příklady na kalkulačce. Nejprve jsme některé počítali zpaměti, Martin znovu zvolil chybný postup..

 

6,4 – 5,9 = 1,5 (0,5) počítá: „6 – 5 = 1, 4 – 9 to nejde, tak to vypočítám 9 – 4 = 5.“

 

4,6 – 2,3 = 2,3

18,4 – 6,2 = 12,2

11,5 – 3,7 = 7,8

12,9 – 6,7 = 6,2

15,6 – 7,8 = 7,8

14,4 – 11,5 = 2,9

28,7 – 14,9 = 13,8

35,7 – 20,8 = 14,9

28,4 – 2,9 = 25,5

37,6 – 10,8 = 26,8

55,5 – 35,9 = 19,6

 

 

Závěr: Využili jsme stejného postupu jako u sčítání desetinných čísel. Zde se tento postup také osvědčil.

Zadání úkolu:

– Vyber z trojic čísel největší a nejmenší a vypočítej jejich rozdíl.

Martinovi jsem musela objasnit pojem rozdíl, protože ho neznal nebo si nemohl vzpomenout, co znamená..

Uvedené trojice:

8,2     4,3     6,1               8,2 – 4,3 = 3,9

14,6   14,3   14,5             14,6 – 14,3 = 0,3

12,9   20,9   15,8             20,9 – 12,8 = 8,1

17,6   27,6   7,3               27,6 – 7,3 = 20,3

2,21   2,11   2,34             2,34 – 2,11 = 0,23

6,50   6,55   6,05             6,55 – 6,05 = 0,5

8,36   8,99   8,63             8,99 – 8,36 = 0,63

3,30   30,3   3,33             30,3 – 3,30 = 27

 

Závěr: Martin nemá problémy s výběrem největšího a nejmenšího čísla.

– Doplň správně tabulku.

sčítanec

12,6

 

17,8

8,45

 

9,99

12,6

2,01

5,63

sčítanec

6,3

5,6

 

4,25

2,14

 

6,3

7,98

 

součet

 

11,2

24,5

 

3,60

16,3

 

 

9,72

 

Problém: Martin si nebyl jistý, jestli má příklady sčítat nebo odčítat. Příklady, kdy známe sčítanec a součet, neuměl správně vyřešit.

 

2. příklad z tabulky

6,6 + 5,6 =   (11,2-5,6)

Číslo 6,6 si údajně vymyslel. Nepochopil, že mu sečtením čísel 6,6 a 5,6 musí vyjít součet (v našem případě číslo 11,2).

11,2 + 5,6 = následně příklad opravil 11,2 – 5,6 = 5,6

Zkouškou jsme se přesvědčili o správnosti.

 

3. příklad z tabulky

17,8 – 24,5 = (24,5 – 17,8)

Vysvětlení:

17,8 + 6,7 = 24,5

24,5

– 6,7

17,8

24,5

– 17,8

6,7

 

 

Závěr: Příklady, kdy známe součet a jeden ze sčítanců, nebyl schopen vyřešit. Po vysvětlení počítal dobře.

 

– odčítání desetinných čísel s různým počtem desetinných míst

Pomůcka: Menšence a menšitele upravíme na stejný počet desetinných míst.

7,80 – 3,11 = 4,69           13,95 – 11,10 = 2,85

24,8 – 6,4 = 18,4             19,10 – 13,05 = 6,05

Závěr: Martin pochopil, že při počítání zpaměti musí upravit menšence a menšitele na stejný počet desetinných míst přidáním nul.

 

– slovní úlohy

- Trojskokan si měřil v tréninku fáze svého skoku. První část skoku měřila 3,89 m, druhá 2,63 m, třetí 4,01m. Jak dlouhý byl celý tento skok?

3,89 + 2,63 + 4,01 = 10,53

- Lenka koupila banány za 22,60 Kč a jablka za 14,80. Kolik korun stál její nákup?

22,60

14,80

37,40

 

- První číslo je 23,6, druhé číslo je o 6,8 větší, třetí číslo je součtem dvou prvních čísel. Jaký je součet všech tří čísel?

Martin nevěděl význam pojmu „součet“.

Úlohu jsme počítali společně. První číslo je 23,6, druhé je o 6,8 větší. 23,6 + 6,8 = 30,4. Třetí je součtem prvního a druhého. Jakou operaci použiješ? Budeš první a druhé číslo mezi sebou sčítat nebo odčítat. „Sčítat“. 23,6 + 30,4 = 54 „Teď musíme vypočítat součet všech tří čísel.“

23,6 + 30,4 + 54 = 108

 

- Olga dostala k narozeninám dvě knihy. První stála 168,80 Kč, druhá byla o 26,20 Kč dražší. Kolik korun stály obě knihy?

168,80 + 26,20 = 195

Tvrdí, že vypočítal, kolik stály obě knihy dohromady. Po mém zaváhání se opravil. Přečetla jsem mu úlohu ještě jednou a zdůraznila jsem, že první stála 168,80Kč a druhá byla o 26,20 dražší. Počítali jsme s modely peněz a na nich pochopil, že musí sečíst ceny obou knih.

168,80 + 195 = 363,80

- Maminka odstřihla z 25,0 m dlouhé šňůry nejprve 3,6 m, potom 11,2m. Kolik metrů šňůry odstřihla? Kolik metrů šňůry jí zbylo?

3,6 + 11,2 = 14,8             25,0 – 14,8 = 10,2

Příklad jsme řešili společně.

 

- Naše největší přehradní nádrž (Lipno) má rozlohu 48,70 km2. Největší rybník (Rožmberk) má rozlohu 4,89 km2. o kolik km2 má Rožmberk menší rozlohu než Lipenská přehrada?

48,70 – 4,89 = 43,81

Tvrdil, že jsme vypočítali rozlohu rybníku Rožmberku.

 

- Měděný odlitek měl hmotnost 14,09 kg, výrobek z něho vybroušený měl hmotnost 12,425 kg. Kolik vzniklo odpadu?

Tato dvě čísla chtěl sečíst. Využila jsem názornou pomůcku – papír, který představoval odlitek a z něho jsem vystřihla výrobek (z odlitku ubírám). Martin pochopil.

14,09 – 12,425 = 1,665

 

- Na sportovní střelnici se vydává střelivo, 55 nábojů je určeno pro 11 střelců. Kolik nábojů připadá na každého z nich?

Martin neporozuměl zadání. Znovu jsem úlohu pomalu přečetla. Martinovi jsem dala podobný příklad. Jak rozdělíš deset karet mezi nás dva. Tím jsem mu pomohla k příkladu 55 : 11 = 5. Měl problémy s výpočtem.

Pomůcka: Kolik je 2 ´ 11 = 22, 3 ´ 11 = 33, 4 ´ 11 = 44, 5 ´ 11 = 55

Závěr: Slovní úlohy jsme řešili podobným způsobem jako v podkapitole 5.9 a vyskytly se v nich stejné problémy.