Přirozené fyzikální jednotky

Když jsem si v čísle 11 ročníku 2000 časopisu VTM, v oddílu „Matematické rekreace“, přečetl článek „Přirozené fyzikální jednotky“, vzpomněl jsem si na v podstatě tentýž nápad, který jsem dostal před sedmnácti lety, když jsem se připravoval k přijímacím zkouškám na vysokou školu.

Jde o to, že základní fyzikální jednotky v soustavě SI jsou celkem náhodně vybrané fyzikální veličiny s celkem náhodně zvolenou velikostí. Ty úplně základní jsou čtyři:

m [kg]

hmotnost

1 kilogram

l [m]

délka

1 metr

t [s]

čas

1 sekunda

I [A]

el. proud

1 ampér

Ovšem ve vesmíru existují jiné čtyři fyzikální veličiny, které jsou specifické tím, že nabývají jedinečné hodnoty – základní fyzikální konstanty. Tyto veličiny jsou přímo předurčeny k tomu, aby byly použity jako základní (číselné hodnoty jsou bez nároku na přesnost):

gravitační konstanta c = 6.672 E-11  [kg-1 m3 s-2]
Planckova konstanta h = 6,626176 E-34   [kg m2 s-1]
permitivita vakua e0= 8,854187818 E-12  [kg-1 m-3 s4 A2]
permeabilita vakua m0= 1,256637 E-6  [kg m s-2 A-2]

Rychlost světla ve vakuu dle mého soudu není tou správnou veličinou, protože přímo vyplývá z hodnot permitivity a permeability vakua podle vztahu:

c = e0-1/2 m0-1/2

Pokud tedy provedeme vhodnou transformaci, můžeme vyjádřit většinu základních fyzikálních veličin pomocí těchto nových základních jednotek. Na následujících řádcích naznačím postup transformace a vypočítám velikost některých nových, takto vzniklých jednotek v jednotkách SI.

Převod na jinou soustavu základních jednotek můžeme provést třeba metodou inverzní matice exponentů jednotlivých činitelů:

obrM.GIF (11743 bytes)

Při použití nových jednotek tedy vychází:

jednotka hmotnosti m0 = 1 [c-1/2 h1/2 e0-1/4 m0-1/4] ~ 5,45649575 E-8 [kg]
jednotka délky l0 = 1 [c1/2 h1/2 e03/4 m03/4] ~ 4,05068463 E-35 [m]
jednotka času t0 = 1 [c1/2 h1/2 e05/4 m05/4] ~ 1,35116292 E-43 [s]
jednotka elektrického proudu I0 = 1 [c-1/2 e0-1 m0-3/2] ~ 9,81541094 E 24 [A]
jednotka rychlosti v0 = 1 [e0-1/2 m0-1/2] ~ 2,99792465 E 8 [m/s]
jednotka energie (práce) W0 = 1 [c-1/2 h1/2 e0-5/4 m0-5/4] ~ 4,904054055 E 9 [J]
jednotka síly F0 = 1 [c-1 e0-2 m0-2] ~ 1,210672887 E 44 [N]
jednotka hybnosti (impulsu síly) p0 = 1 [c-1/2 h1/2 e0-3/4 m0-3/4] ~ 16,358163 [kg m/s]
jednotka elektrického odporu R0 = 1 [e0-1/2 m01/2] ~ 376,7303042 [Ohm]
jednotka elektrického náboje Q0 = 1 [h1/2 e01/4 m0-1/4] ~ 1,32622193 E-18 [C]
jednotka magnetické indukce B0 = 1 [c-1 h-1/2 e0-7/4 m0-5/4] ~ 3,045018234 E 53 [T]
jednotka elektrické kapacity C0 = 1 [c1/2 h1/2 e07/4 m03/4] ~ 3,58655225 E-46 [F]
jednotka indukčnosti L0 = 1 [c1/2 h1/2 e03/4 m07/4] ~ 5,09024018 E-41 [H]
jednotka elektrického napětí U0 = 1 [c-1/2 e0-3/2 m0-1] ~ 3,69776275 E 27 [V]

Pozn.: Tabulka byla s výhodou vypočítána kalkulátorem Syntan s použitím profilu Fyzikální Jednotky.syn.

           Další web autora je zde: Rivet.

Číselné hodnoty takto vypočtených jednotek jsou pozoruhodné, ale také rozporuplné. Potěšující je samozřejmě jednotka rychlosti v0 = c, tedy rychlost světla ve vakuu, ale to vyplývá ze vztahu, který byl uveden již výše. Další správnou jednotkou je jednotka elektrického odporu, rovná vlnové impedanci vakua.

Ostatní jednotky už nejsou tak jasné. Možná proto, že těchto jednotkách již figuruje gravitační nebo Planckova konstanta. Mne osobně nejvíce zarazila jednotka elektrického náboje, která se rovná asi 8,28-násobku elementárního náboje. Řádově je to blízko, ale dalo by se očekávat, že tu bude rovnost, popřípadě že jednotka bude nějakým celočíselným dílem „elementárního“ náboje. Že by snad nepřesnost Planckovy konstanty???

Zajímavý je též pohled na vzniklé jednotky z hlediska jejich absolutní velikosti. Jednotka délky a jednotka času jsou dostatečně malé, aby snad mohly být jejich kvanty, zatímco jednotka hmotnosti je příliš velká.

Velice malé jednotky mají např.:

    délka, čas, náboj, kapacita, indukčnost.

Velice velké jednotky mají např.:
    práce, síla, proud, napětí, mag. indukce.

Za pozornost stojí jednotka hybnosti – ačkoli veličiny, z nichž se odvozuje, mají jednotky obrovské nebo nepatrné, sama má jednotku doslova v lidském měřítku.
Žijeme ve "světě hybnosti".

Mezi jednotkami hmotnosti a energie platí známý Einsteinův vztah E = mc2 , zde W0 = m0 v02.

Zajímavé samy o sobě jsou též číselné hodnoty čitatelů exponentů. Každá základní fyzikální veličina je určena specifickou uspořádanou čtveřicí těchto celých čísel. Následně uvedu přehlednou tabulku těchto koeficientů, která je sama o sobě cenná a prakticky užitečná (osobně jsem ji mnohokrát použil během studia), především pro provádění kontrol fyzikálních výpočtů a odvozených vzorců z hlediska jejich rozměru.

Veličiny se dělí především na neelektrické (s identickými posledními dvěma koeficienty) a elektrické (které mají poslední dva koeficienty různé). Elektrické veličiny pak vždy existují v symetrických párech, které vzniknou záměnou posledních dvou koeficientů (většinou jedna elektrická a jedna odpovídající magnetická veličina).

První dva koeficienty jsou vždy sudé, zatímco druhé dva mohou být sudé i liché. Veličiny lze tedy rozdělit na sudé a na liché, ale nemám ponětí, o čem tato vlastnost vypovídá. V podstatě by bylo možno vytvořit čtyřrozměrný diskrétní prostor a každou veličinu umístit do jeho příslušného uzlu. Následně by se pak daly zkoumat geometrické vztahy mezi polohami jednotlivých veličin.

Tabulka koeficientů:

Rychlost 0 0 -2 -2
Hmotnost -2 2 -1 -1
Délka 2 2 3 3
Čas 2 2 5 5
Energie (práce) -2 2 -5 -5
Hybnost (impuls) -2 2 -3 -3
Zrychlení -2 -2 -7 -7
Plocha 4 4 6 6
Objem 6 6 9 9
Síla -4 0 -8 -8
Výkon -4 0 -10 -10
Hustota -8 -4 -10 -10
Tlak -8 -4 -14 -14
El. odpor 0 0 -2 2
El. vodivost 0 0 2 -2
El. náboj 0 2 1 -1
Mag. tok 0 2 -1 1
El. napětí -2 0 -6 -4
El. proud -2 0 -4 -6
Kapacita 2 2 7 3
Indukčnost 2 2 3 7
El. indukce -4 -2 -5 -7
Mag. indukce -4 -2 -7 -5
Intensita el. pole -4 -2 -9 -7
Intensita mag. pole -4 -2 -7 -9

S tabulkou se pracuje tak, že čtveřice veličin, které se vzájemně násobí, se sčítají, zatímco čtveřice veličin, jimiž se dělí se odečítají:

1. příklad:
rychlost = délka / čas

2

2

3

3

-2

-2

-5

-5

-----------------------------------

0

0

-2

-2

2. příklad:
práce = síla * dráha

-4

0

-8

-8

2

2

3

3

-----------------------------------

-2

2

-5

-5


3. příklad:

práce = napětí * proud * čas

-2

0

-6

-4

-2

0

-4

-6

2 2 5 5

-----------------------------------

-2

2

-5

-5

Ing. Petr Truneček
Ke Krči 517
147 00    PRAHA 4

petr.trunecek@volny.cz


Jako odezvu na tuto mojí laickou úvahu jsem dostal velice fundovaný názor pana Petra Krákory, který s poděkováním uvádím v nezměněné podobě:


Přirozené fyzikální jednotky


Považuji za vhodné okomentovat některé části Vaší úvahy:

„Ovšem ve vesmíru existují jiné čtyři fyzikální jednotky, které jsou specifické tím, že nabývají jedinečné hodnoty – základní fyzikální konstanty. Tyto veličiny jsou přímo předurčeny k tomu, aby byly použity jako základní: f01.gif (210 bytes). Rychlost světla ve vakuu dle mého soudu není tou správnou veličinou, protože přímo vyplývá z hodnot permitivity a permeability vakua ...“

    1. Předpoklad neměnnosti a univerzálnosti základních fyzikálních konstant považuji za rozumný a přirozený, i když např.: http://www.sciencedaily.com/releases/2001/02/010212075309.htm

    2. Dnešní stanovení základních jednotek implicitně obsahuje konstantnost rychlosti světla ve vakuu c i permeability vakua f16.gif (83 bytes) (stanoveny přesně), hodnotu f17.gif (72 bytes) definuje pomocí nich; tato volba je sice ekvivalentní Vaší volbě posledních dvou konstant, pro metrologii je však mnohem výhodnější (etalon c lze realizovat snáz a přesněji). „Neelektrické“ veličiny by se pak projevily přirozenou absencí koeficientu příslušného f16.gif (83 bytes), nikoli shodou dvou posledních koeficientů. Exponenty by navíc všechny nabyly polovinového tvaru. Touto úpravou ztracená „symetrie“ některých elektrických a magnetických veličin je založena na historické snaze o analogii, ve skutečnosti jsou magnetické jevy relativistickými projevy jevů elektrických a „symetrie“ je proto umělá, nikoli přirozená.

    3. Stejně jako jsou (viz 1.) neměnné a univerzální uvedené konstanty, jsou stejně neměnné a univerzální jejich pevně stanovené násobky. Z důvodů racionalizace (viz komentář 1) bych proto považoval za vhodnější za „základní“ jednotky v prvních dvou případech násobky f09.gif (129 bytes) a f03.gif (198 bytes) (tzv. modifikovaná Planckova konstanta).

„Mne osobně nejvíce zarazila jednotka elektrického náboje, která se rovná asi 8,28-násobku elementárního náboje. Řádově je to blízko, ale dalo by se očekávat, že tu bude rovnost, popřípadě že jednotka bude nějakým celočíselným dílem „elementárního“ náboje. Že by snad nepřesnost Planckovy konstanty???“


    4. Elementární náboj nelze považovat za stejně univerzální konstantu, jako výše uvedené veličiny. Elementární náboj se sice jeví jako makroskopická konstanta. Kvantová teorie pole nám však ukazuje, že se vlastně jedná o míru elektromagnetické interakce pro nízké předávané čtyřimpulsy. Pro vyšší předávané čtyřimpulsy se snižuje vliv polarizace vakua a tato interakce je silnější (viz komentář 2).
  Navíc je potřeba zmínit vedle třetinových nábojů kvarků i přirozené realizace racionálních (tedy nejen celočíselných) násobků elementárního náboje při zlomkovém kvantovém Hallově jevu.
  Není tedy důvod pro znepokojení, že ani při přepočtu podle bodu 3. nedostaneme ve vztahu k e „hezkou“ hodnotu pro jednotku náboje. Už vůbec to není způsobeno nepřesností Planckovy konstanty, jedné z nejpřesněji stanovených (a metrologicky realizovatelných) konstant.


„Každá základní fyzikální veličina je určena specifickou uspořádanou čtveřicí těchto celých čísel.“


     5. Opomeneme-li „nefyzikální“ akustické veličiny a také fotometrické veličiny, založené na svítivosti a základní jednotce kandela, zbývá nám ještě třída veličin a jednotek „termodynamických“, založených na teplotě a základní jednotce kelvin. Můžeme sice dále rozvíjet úvahu, zda je „základnější“ veličinou f04.gif (206 bytes), kde f05.gif (87 bytes) je Boltzmannova konstanta, i vzhledem k přirozenější návaznosti záporných absolutních teplot realizovaných v kvantových systémech na „klasické“ kladné absolutní teploty, přesto bychom veličiny založené na teplotě opomíjet neměli. Jednoduchým a přirozeným řešením je doplnit pátou základní jednotku f05.gif (87 bytes), spadající do stejné třídy neměnnosti a univerzálnosti, jako první čtyři konstanty. „Termodynamické“ veličiny tak získají nový polovinový koeficient, určující uspořádané čtveřice se změní na uspořádané pětice.


Komentář 1:
   
Racionalizace


     Racionalizací se rozumí zápis fyzikálních vztahů a volba jednotek a koeficientů tak, aby byly respektovány přirozené symetrie, tj. aby číselné koeficienty vyjadřující symetrii vystupovaly jenom ve vztazích, kde jsou opodstatněné.

Příklad 1:
    Všesměrová (kulová) symetrie

    Klasickým případem racionalizace v soustavě SI je koeficient f06.gif (114 bytes) ve vztahu pro Coulombovu sílu (elektrostatické pole bodového náboje je centrální, všesměrové, s kulovou symetrií – směřující do plného prostorového úhlu f07.gif (89 bytes)). Díky němu se neobjevuje koeficient f07.gif (89 bytes) v rovnicích pro homogenní pole, kde je neopodstatněný (jako je tomu např. v soustavě CGSe). Obdobná racionalizace se uplatňuje v systému fotometrických veličin.
    Ze stejného důvodu by byl přirozený tento koeficient i v rovnici pro Newtonovu gravitační sílu f08.gif (347 bytes), „přirozenou“ konstantou je proto f02.gif (138 bytes) (soustava SI takto racionalizována není). Tato racionalizace by např odstranila „nepřirozený“ koeficient f07.gif (89 bytes) v Einsteinových gravitačních rovnicích
f10.gif (604 bytes) .
[Pozn.: Válcová symetrie vede k obdobným koeficentům f11.gif (88 bytes).]

Příklad 2:
    Cyklické jevy

    Mnoho veličin popisuje cyklické jevy (kmitání, vlnění). Nejjednodušším projevem vztahu necyklických a cyklických veličin jsou veličiny popisující rovnoměrný pohyb po kružnici. Pro cyklické veličiny je typický a opodstatněný koeficient f11.gif (88 bytes) (plný rovinný úhel), proto např. vztah mezi periodou a úhlovou rychlostí f12.gif (153 bytes) ukazuje, že pro cyklické jevy jsou „přirozenými“ veličinami úhlová rychlost (nikoli rychlost obvodová), úhlový kmitočet (nikoli kmitočet), úhlový vlnočet k (nikoli vlnočet; rovnice pro vlnovou délku f14.gif (70 bytes) popisující „délku cyklu“ bude přirozeně obsahovat koeficient f13.gif (203 bytes)) apod. Také např. vztahy pro výchylku při harmonickém přímém postupném vlnění nebudou v argumentu goniometrické funkce obsahovat nepřirozený koeficient f11.gif (88 bytes), budou-li namísto kmitočtu a vlnové délky použity úhlový kmitočet a úhlový vlnočet. Při rozšíření do kvantové oblasti nám např. vztah pro energii fotonu f18.gif (139 bytes) ukazuje „přirozenost“ modifikované Planckovy konstanty f03.gif (198 bytes), nezávislým „důkazem“ je skutečnost, že právě tato konstanta je kvantem orbitálního impulsmomentu nebo absolutní hodnotou komutátoru operátorů souřadnice a hybnosti v kvantové teorii. Naopak vyjádření „kvantových“ veličin pomocí Planckovy konstanty h vede k nepřirozené přítomnosti koeficientu f11.gif (88 bytes).


Komentář 2:
    Síla interakce


    Konstanta jemné struktury f15.gif (229 bytes) jako míra elektromagnetické interakce se jeví jako konstanta pouze pro nízké předávané impulsy. Pro vyšší předávané impulsy její hodnota vlivem polarizace vakua (krátkodobý vznik a zánik virtuálních párů elektron – pozitron, tj. dipólů snižujících intenzitu pole reálného náboje) logaritmicky roste s předávaným impulsem.
    Naopak u silné jaderné (barevné) interakce vazebná konstanta klesá (vzhledem k tomu, že virtuální gluony zprostředkující interakci nesou barevný náboj a jsou proto samy zdrojem interakce).
    Teorie velkého sjednocení předpokládá, že při energiích rovných Planckově energii (to je ona nová jednotka energie ve Vašem systému jednotek – navrženém již Planckem) budou vazebné konstanty elektromagnetické, slabé jaderné (jako dvou složek elektroslabé interakce) a barevné interakce srovnatelné a projeví se symetrie velkého sjednocení. Experimenty však nejjednodušším modelům teorie velkého sjednocení „nepřejí“ (příliš dlouhá doba života protonu – ten by měl být nestabilní, nebo některé odchylky experimentálních a vypočtených hodnot – např.: http://www.sciencedaily.com/releases/2001/02/010209070059.htm ).
    Úvahu je možné rozšířit o možný vliv změny hustoty skalárního pole ve vesmíru, na jehož existenci ukazují některé nové experimenty, např.:
http://www.sciencedaily.com/releases/2001/02/010201072121.htm. Změny tohoto pole by mohly vést i ke změnám vlastností vakua a tak i vazebných konstant.