Norimberský trychtýř

 

aneb

 

Průvodce inteligentního gymnazisty
středoškolskou
fyzikou

(První 4 kapitoly připravované knihy)

 

 

 

Motto:

Hunc igitur terrorem animi tenebrasque necessest
non radii solis neque lucida tela diei
discutiant, sed naturae species ratioque.

(Takový tedy strach a temnotu duše
nemohou rozptýlit paprsky denního světla
ni šípy slunce – jen rozum a přírodní věda.)

Titus Lucretius Carus
De Rerum Natura


Milí studenti!

Dostáváte do rukou pomocný studijní text, který vás bude – budete-li chtít – provázet po celou dobu studia fyziky na gymnáziu. Jeho úkolem však není nahradit učebnici ani jinou odbornou nebo populární literaturu o fyzice. Právě naopak – čím víc si takových pramenů seženete a naučíte se s nimi pracovat, tím budete ve studiu úspěšnější – a to se netýká jen fyziky. Tato brožurka si klade cíle zcela jiné. Zaprvé, má upozornit na několik důležitých skutečností, kterým učitelé i autoři učebnic často nevěnují dostatečnou pozornost, nebo je přímo opomíjejí. Zadruhé, chce látku, která je v učebnicích často vykládána zdlouhavě, nesystematicky a se zbytečným zabíháním do nepodstatných detailů, co nejvíc zestručnit a zprůhlednit, aby vynikly právě ty podstatné souvislosti, které se studentům obvykle ztrácejí. Nenajdete zde proto vždy všechny problémy rozebrané do všech detailů, ani všechny informace, které jsou povinnou náplní vašeho studia – pro ty se obraťte k učebnicím, případně k dalším knihám, které vám doporučí vaši pedagogové. Neprobírá také fyziku obor po oboru, jak to činí klasické učebnice, ale naopak v každé kapitole postupuje „napříč fyzikou“, aby vynikly určité souvislosti, které tematicky členěná učebnice chtíc nechtíc vždycky trochu zakryje. Z toho důvodu také není nutné, abyste knihu četli jedním dechem od začátku do konce. Stačí, když si z každé kapitoly vždy vezmete jen to, co právě potřebujete nebo čemu budete rozumět v závislosti na tom, jak jste ve studiu fyziky a matematiky pokročili.

"Norimberský trychtýř" v tradičním slova smyslu ale nečekejte. Žádná kniha na světě, tedy ani tato, nemůže způsobit, aby vám vědomosti natekly do hlavy samy, bez vašeho přičinění. Může však přispět k tomu, abyste je čerpali s otevřenou myslí.

Úspěšné a radostné studium vám přeje autor.


První kroky

Radost z uvažování a z chápání je nejkrásnějším darem přírody.
(Albert Einstein, německý fyzik)

Autor tohoto citátu, snad nejslavnější fyzik všech dob, napsal malou knížku, kterou nazval Fyzika jako dobrodružství poznání. Ten název se mi moc líbí: vyjadřuje ten nejhezčí pocit, který lze ze studia fyziky mít. Jestli vám fyzika zatím připadá jako nudná a děsivá hora vzorců a pouček, kterou je pouze třeba se nějak protrpět do maturity, ujišťuji vás (a Einsteina beru za svědka), že je to dojem povrchní a falešný. Překonáte-li počáteční odpor, zjistíte, že fyzika dokáže být stejně zajímavá jako kterýkoli váš oblíbený předmět. Jestliže vám k tomu následující stránky pomohou, splnily svůj účel. Úvodem bych vás jen rád požádal o jedno: přistupujte k nim nezaujatě. Nebudete-li s něčím souhlasit, nevadí, čtěte dál a později se ke spornému místu vraťte. Hlavně nepřeskočte tuto úvodní kapitolu – je možná nejdůležitější ze všech, právě proto, že jsou v ní "jen takové obecnosti".

Mimochodem, tu Einsteinovu knížku si někdy přečtěte. Asi vás překvapí, že je o fyzice a přitom bez jediného vzorce. (Opravdu!)

K čemu fyzika?

Možná si mnozí z vás kladou otázku, proč se mají učit fyziku, zvláště když mají v úmyslu jít po maturitě studovat nějaký humanitní obor. Dokonce i rodiče často argumentují tím, že „to přece naše děti nebudou nikdy potřebovat“. Podobně by bylo možné se ptát, proč se učit matematiku, biologii nebo chemii. Pokusím se odpovědět především humanitně orientovaným studentům, neboť u těch, kteří mají k přírodním vědám blízko, pochybnosti o významu fyziky nepředpokládám.

Nebudu hovořit o významu fyziky pro technickou praxi. Na gymnáziu koneckonců nestudujeme především proto, abychom získali určité množství praktických poznatků, nýbrž proto, abychom byli všeobecně vzděláni. Ke specializovanému studiu jsou určeny jednak střední odborné školy, jednak (a to především) školy vysoké. Tam bude studovat budoucí právník práva, budoucí historik historii a budoucí fyzik fyziku. Naproti tomu náplní studia na gymnáziu je to, co má budoucí filosof, právník, historik nebo jazykovědec vědět o chemii, biologii, fyzice a matematice, a ovšem také to, co má budoucí matematik, fyzik, chemik a biolog vědět o dějinách, umění, literatuře, jazycích a filosofii.

Zbývá zodpovědět otázku, proč to mají vědět. Jinými slovy, jaké vzdělání má vzdělaný člověk mít. Není dávno doba, kdy za ideál platil vysoce specializovaný odborník, schopný kvalitně řešit náročné úkoly svého oboru, ale bez potřeby jakýchkoli vědomostí o oborech jiných. Ten totiž není schopen vidět vyšší souvislosti, klást si důležité otázky o světě, necítí potřebu vlastního, nezávislého přemýšlení a snadno se mu vládne. V zájmu "výroby" takovýchto "odborníků" byla gymnázia nejdříve rozdělena na přírodovědnou a humanitní větev, a později byly dokonce všeobecně vzdělávací předměty vytěsňovány odborným výcvikem, jaký patří na průmyslovky nebo spíše do odborných učilišť. Dnes se vracíme k ideálu člověka rozvinutého harmonicky, což mimo jiné znamená také člověka vzdělaného všestranně, nebo alespoň mnohostranně. Studium na gymnáziu vám dává nejlepší, ale současně také poslední příležitost tyto vědomosti získat, v rozsahu dostatečném k tomu, abyste se za takto všeobecně vzdělané lidi mohli s čistým svědomím považovat. A o to jistě stojíte všichni.

O čem fyzika je?

Vymezit předmět fyziky není tak jednoduché, jak by se na první pohled zdálo. Řecké slovo fysis znamená přírodu. Znamená to, že fyzika se zabývá přírodou a jejími zákony, řadíme ji mezi tzv. přírodní vědy. K nim však patří i jiné disciplíny, třeba biologie a chemie. Od biologie se fyzika na první pohled liší tím, že se zabývá přírodou neživou, alespoň z největší části. Existuje však i mezní oblast fyziky, zvaná biofyzika, která aplikuje fyzikální zákony a metody na procesy v živých organismech. Podobně chemická fyzika (nebo fyzikální chemie) zkoumá fyzikální stránku chemických dějů. Fyziku tedy není možné prostě oddělit od ostatních přírodních věd, hranice mezi těmito vědami nejsou ostré. Skutečně, slovo fyzika (řecky ta fysika = česky asi "věci přírodní") znamenalo původně souhrn všech znalostí o přírodě, včetně přírody živé (srovnej anglické physician = lékař), zatímco fyzika v dnešním smyslu se ještě poměrně nedávno označovala jako "přírodní filosofie". A právě toto označení nás může přivést k myšlence, že vhodněji než jejím předmětem lze fyziku definovat jejím charakterem, respektive vztahem k ostatním přírodním vědám.

Existuje mnoho systémů klasifikace věd, a to nejen věd přírodních. Různí vědci a filosofové minulosti, kteří se pokoušeli takový systém vytvořit, volili totiž různé třídící klíče v závislosti na myšlenkových schématech, z nichž vycházeli. Mně se jako nejvhodnější jeví klíč, který si zvolil v 1. polovině 19. století francouzský filosof Auguste Comte (1798 – 1857). Tento klíč se dá shrnout do jednoduché testovací otázky: Která věda kterou využívá? Každá věda nutně potřebuje ke své práci poznatky, ke kterým dospěla věda jiná. Uvažujeme-li o skupině hlavních přírodních věd, tedy o fyzice, chemii, biologii, astronomii, případně ještě o disciplínách dalších (geologie, mineralogie apod.), odpověď na tuto otázku se nám rýsuje docela jasně. Zjevně potřebuje spíše chemie fyziku než fyzika chemii. Stejně dopadne odpověď i u dalších vědních oborů. Souhrnně řečeno, výstupy fyziky slouží za vstupy pro ostatní přírodní vědy. Naopak fyzika se zabývá nejobecnějšími a nejzákladnějšími zákonitostmi, jaké lze v přírodě objevit. Chemické, biologické a jiné přírodní zákony jsou totiž, přísně vzato, jen důsledky zákonů fyzikálních. Naproti tomu zákonitosti, které zkoumá fyzika, jsou prvotní, nejsou logicky vyvoditelné z poznatků jiných vědních disciplín. Z tohoto hlediska tedy ostatní přírodní vědy tvoří jen jakousi nadstavbu nad vědou základní, kterou je fyzika. Fyzika má své místo před těmito vědami, jinými slovy, fyziku můžeme definovat jako primární přírodní vědu, vědu o nejelementárnější úrovni uspořádání přírody a světa.

Určujícím činitelem tohoto uspořádání je to, že jednotlivé části přírody (tělesa, částice atd.) na sebe vzájemně působí. Právě vzájemným působením se vytvářejí struktury, které fyzika zkoumá. Tomuto působení říkáme fyzikální síly (latinsky interakce). S trochou zjednodušení lze říci, že předmětem fyziky je studium sil. [V době našeho národního obrození se fyzice říkalo "silozpyt".] Současné fyzice jsou známy celkem čtyři druhy těchto sil. První z nich se nazývá gravitační (tíhová) a poznáte ji hned na začátku studia. Vlastně ji ale všichni známe z každodenní zkušenosti: díky ní chodíme po zemi, jablko padá ze stromu, Země obíhá Slunce a tak dále. Druhá síla je síla elektromagnetická. Z praxe je rovněž dobře známa. V přírodě je důležitá především tím, že drží pohromadě atomy, základní stavební kameny látek. Poslední dvě síly, tzv. síla silná a slabá, se souhrnně označují jako síly jaderné nebo také síly krátkého dosahu. Jak už název napovídá, působí mezi částicemi jen na krátké vzdálenosti, srovnatelné s rozměry atomového jádra, v němž hrají rozhodující úlohu. Důkladněji je poznají jen ti z vás, kteří se rozhodnou studovat fyziku na vysoké škole; na gymnáziu o nich zaslechnete, až budete probírat atomové jádro a radioaktivitu. V posledních desetiletích se fyzici snaží dílčí teorie těchto sil sjednotit, tzn. vytvořit jednotnou teorii společnou pro všechny známé druhy interakcí. Částečných úspěchů již bylo dosaženo, ale konečný cíl je stále v nedohlednu a zůstává "horkým tématem" fyziky i pro 21. století.

Hlavní obory fyziky

Čtyři fyzikální síly do jisté míry předznamenávají rozdělení fyziky na několik dílčích odvětví, či spíše tematických okruhů, vyznačujících se určitým stupněm samostatnosti. Následující charakteristiky jsou samozřejmě zjednodušené a nelze je chápat absolutně, ale jakousi základní představu snad poskytnout mohou.

·           Mechanika popisuje, stručně řečeno, účinky sil na tělesa, v první řadě účinky pohybové (kinematika a dynamika). Ze čtyř druhů sil zkoumá především gravitaci. Za zvláštní část mechaniky lze považovat také nauku o mechanickém (zvukovém) vlnění, akustiku.

·           Molekulová fyzika a termodynamika zkoumá látky především z hlediska jejich struktury. Snaží se vysvětlit např. deformační účinky sil (teorie pružnosti), povrchové jevy u kapalin a především chování látek při různých tepelných dějích.

·           Nauka o elektřině a magnetismu se zabývá jevy, souvisejícími s elektromagnetickou interakcí. Spadá sem rovněž optika, pojednávající o elektromagnetickém vlnění.

·           Atomová a jaderná fyzika je zaměřena, jak už název napovídá, k nejjemnější struktuře světa, který nás obklopuje, k stavbě atomu, atomového jádra a k elementárním částicím.

Kromě těchto oborů "čisté" fyziky najdeme ještě řadu oborů hraničních, tj. takových, kde se fyzikální poznatky a metody uplatňují v jiných oblastech vědy. Několik příkladů:

·           Biofyzika zkoumá fyzikální procesy v živých organismech.

·           Chemická fyzika se zabývá fyzikální podstatou chemických dějů.

·           Geofyzika popisuje a studuje fyzikální vlastnosti naší planety.

·           Astrofyzika se zaměřuje na fyzikální děje na kosmických tělesech a obecně ve vesmíru.

Hned v úvodu je však třeba upozornit na to, že uvedené rozdělení je vlastně jen rozdělením pomocným, sloužícím k věcné orientaci, a nemělo by být příliš přeceňováno, už proto, že se týká pouze předmětu studia těchto disciplín, a nikoli jejich metod, ani jejich výchozích předpokladů. A především: předmět zájmu jednotlivých oborů se sice liší, to však neznamená, že by fyziku bylo možno "rozkrájet" na několik úplně samostatných a nezávislých věd. Naopak, tyto oblasti se často překrývají a navzájem do sebe zasahují, při řešení problémů z jednoho oboru je téměř vždy třeba rozumět i oborům ostatním. Při výuce nemáme jinou možnost, než si látku do takovýchto celků rozčlenit, je však třeba mít stále na paměti, že fyzika je jen jedna.

Jak fyzici pracují

Podle stylu práce a používaných metod lze fyziku v zásadě rozdělit na experimentální a teoretickou. Fyzik-experimentátor zkoumá přírodu přímo: provádí pokusy, měří různé veličiny, studuje jejich vzájemné souvislosti, někdy dokonce objevuje nové, tzv. empirické (zkušeností získané) přírodní zákony, nebo naopak prověřuje zákonitosti předpovězené teorií. Fyzik-teoretik spíše využívá výsledky pokusů jiných fyziků a snaží se je především teoreticky vysvětlit. Vytváří různé modely a teorie, které ovšem musí být znovu prověřovány pokusy. Teoretický fyzik často nejen sám navrhne takový experiment, ale i předpoví jeho výsledek. Splní-li se jeho předpověď, je to silný argument pro to, že jeho teorie je správná. Naopak, dopadne-li pokus opačně, lze většinou s určitostí tvrdit, že teorie správná není.

Už z toho je vidět, že ani teoretická a experimentální fyzika nejsou nějaké dvě nezávislé a samostatné vědy, ale že jedna bez druhé nemůže existovat. Experimentální fyzik nemusí být přeborníkem v teorii, musí jí však rozumět natolik, aby plně chápal smysl pokusů, které provádí. Právě tak teoretik nemusí přesně znát všechny detaily experimentu a sám jej ani nemusí umět provést. Musí však být schopen posoudit, zda mu právě tento pokus může zodpovědět jeho otázky či nikoliv. Oba si pak musí navzájem rozumět natolik, aby mohli účinně spolupracovat.

Něco z dějepisu

Jako všechno, co lidé vytvořili, má i fyzika svoje dějiny. Člověk postupně získával nové a nové poznatky o přírodě, zpřesňoval a zdokonaloval své přírodovědné názory a teorie, svůj obraz světa. Nejednou se stalo i to, že se stávající představy dostaly do rozporu s nově poznanými skutečnostmi a musely být opravovány, nebo dokonce nahrazeny zcela novými. Takové převratné změny pak v dějinách vymezují určitá období, vyznačující se vždy charakteristickým způsobem vidění světa, a tím i charakterem fyzikálních názorů a metod. To se samozřejmě týká nejen fyziky, ale všech věd, a není ani nijak překvapující, že periody, které nacházíme, jsou v podstatě shodné s periodami dějin obecných i dějin kulturních (např. dějin umění).

Z dějepisu znáte základní rozdělení dějin světa na pravěk, starověk, středověk a novověk. Už v pravěku a v nejstarších starověkých civilizacích, jako byly Egypt, Mezopotámie, Čína a Indie, získali lidé některé poznatky, které bychom mohli označit za fyzikální. Byly to však jen poznatky dílčí, jednotlivé útržky, netvořící dosud nějaký sourodý celek, ucelenou soustavu vědomostí – vědu. Taková snaha se objevuje až ve starém Řecku, tedy v období, které nazýváme antikou. Nemáme zde prostor na podrobný výklad dějin toho období a spokojíme se proto s konstatováním, že pro další vývoj mělo zásadní význam dílo Aristotelovo (384 – 322 př.n.l.). Aristoteles platil po mnoho dalších staletí za nejvyšší autoritu ve všech vědách. Ani arabský, ani evropský středověk v podstatě nevybočil z rámce jeho představ o uspořádání světa.

Teprve další období, renesance, vzalo na sebe úlohu vypořádat se s omyly aristotelského systému. Tento proces, zahájený vytvořením Koperníkovy heliocentrické soustavy (1543), vrcholí (alespoň na půdě fyziky) v díle Galilea Galileiho (1564 – 1642). Galilei je zakladatelem novodobé fyziky, nazývané též fyzika klasická (jedná se v první řadě o mechaniku). Na těchto základech, a s pomocí nově rozvinuté matematiky, buduje pak tuto fyziku Isaac Newton (1643 – 1727). Jeho hlavní dílo, příznačně nazvané Matematické základy přírodní filosofie, vychází tiskem r. 1687. Představuje dovršení vývoje započatého v renesanci a současně zahajuje novou etapu, zahrnující vlastně celé 18. a 19. století.

Vývoj po Newtonovi již nepřinesl žádný zásadní objev v mechanice, pouze byly rozvinuty a silně zdokonaleny matematické metody, které používala. Jejich největším triumfem byl objev nové planety na základě poruch drah planet známých (r. 1846). Zato však je tato doba velmi bohatá na objevy z oblasti struktury látek a termodynamiky, a také elektřiny, magnetismu a optiky. Za všechny jmenujme alespoň vynikajícího anglického experimentátora Michaela Faradaye (1791 – 1867). V této oblasti je vývoj završen dílem britského fyzika J. C. Maxwella (1831 – 1879), představujícím elegantní matematickou syntézu všech tehdy známých poznatků o elektrických a magnetických jevech. Maxwellova teorie je posledním velkým úspěchem klasické fyziky, současně však už odhaluje její slabou stránku, která nakonec přispěje k jejímu překonání.

Zhruba od poloviny 19. století dochází k novým zásadním objevům z oblasti fyziky záření a struktury látky, které ukazují, že klasické představy jsou pro fyziku mikrosvěta neudržitelné. Vzniká zcela nová disciplína, kvantová mechanika. Z jejích zakladatelů je třeba jmenovat alespoň Maxe Plancka (1858 – 1947). S rozpory mezi klasickou mechanikou a Maxwellovou elektrodynamikou se pak r. 1905 radikálním způsobem vypořádává Albert Einstein (1879 – 1955), zakladatel teorie relativity. Kvantovou mechaniku a teorii relativity označujeme dohromady jako fyziku moderní.

Existuje tedy ještě jedno členění fyziky, často opomíjené nebo směšované s členěním tematickým, s nímž do jisté míry souvisí, ovšem je to souvislost druhotná. Nazval bych je členěním koncepčním, totiž členěním podle základních ideových východisek řešení fyzikálního problému, neboli podle přijatého konceptu fyzikálního obrazu světa. Pomineme-li ty představy o přírodě, které panovaly ve starověku a středověku (koncept aristotelovský), lze ve vývoji fyziky rozeznat tři základní koncepty, totiž klasický (galileovsko-newtonovský), relativistický (einsteinovský) a kvantový (planckovský). Klasický koncept po vítězství nad aristotelismem v renesančním období vládl přírodovědeckému myšlení Evropy až do 19. století. Moderní koncepty se ve fyzice uplatňují zhruba od počátku 20. století až po naši současnost.

Shrnutí:

q       Rozdělení fyziky na mechaniku, termiku, elektřinu, optiku a atomistiku, případně další obory, je rozdělení tematické, tedy podle předmětu studia těchto oborů.

q       Rozdělení na fyziku teoretickou a experimentální je rozdělení metodologické, čili rozdělení podle způsobu zkoumání přírody a používaných prostředků.

q       Rozdělení na fyziku klasickou, relativistickou a kvantovou je rozdělení koncepční, to znamená podle výchozích předpokladů, podle přijatých představ o fyzikálním obrazu světa.

Aplikovaná matematika!

Tuhle pohotovou odpověď na otázku „Co je fyzika?“ jsem dostal, věřte nevěřte, od studenta prvního ročníku gymnázia. Je to odpověď až neuvěřitelně přesná: fyzika sice v zásadě nevyužívá výsledky jiných přírodních věd, ale využívá přece matematiku! S trochou nadsázky lze říci, že matematika se může bez fyziky docela dobře obejít, kdežto naopak je to zcela nemožné. Je to vlastně podobná situace jako v případě vztahu fyzika – ostatní přírodní vědy, ale v opačném gardu: vůči matematice je fyzika disciplínou sekundární, je odkázána na její výstupy.

V našem systému věd stojí tedy matematika ještě před fyzikou. Je matematika přírodní věda? Někteří ji za takovou považují, domnívám se však, že je to nepřesné. Předmětem studia matematiky není totiž přímo příroda, nýbrž svět člověkem vytvořených abstraktních pojmů, které mohou přírodu pouze lépe či hůře popisovat. Matematika je spíše jakýmsi univerzálním nástrojem pro práci všech dalších věd, chcete-li "vědou před vědami", neboť sama skutečně výstupy žádné jiné vědy ke své práci nepotřebuje, ale naopak bez ní se žádná poctivá věda neobejde. Německý matematik Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) prý řekl: „Věda je natolik vědou, kolik je v ní matematiky.“ Ve fyzice, která v našem systému věd stojí matematice nejblíže, je jí asi také nejvíc, takže v tomto smyslu je "nejvíc vědou". Ale i kdybychom s Gaussem nesouhlasili, faktem zůstává, že bez potřebných znalostí matematiky bychom nikdy neporozuměli žádnému fyzikálnímu zákonu a nevyřešili ani jednu úlohu, zkrátka naše studium by bylo odsouzeno k nezdaru. Jinými slovy, matematika je nezastupitelným pracovním nástrojem fyziky, vlastně jakousi řečí, v níž fyzikální poznatky formulujeme, zobecňujeme a vyvozujeme z nich závěry. Je, jak to kdysi výstižně formuloval Galilei, jazykem přírody, jehož zvládnutí je nezbytnou podmínkou porozumění vlastnímu obsahu fyziky.

Na druhé straně je třeba si uvědomit, že naše tvrzení se nevztahuje ani tak na obsah fyziky, ale spíše na její charakter. Fyzika skutečně matematiku silně připomíná, hlavně ovšem po stránce formální. Obsahově se od ní liší tím, že veličiny, funkce a vztahy, s nimiž se v ní setkáváme, vždy označují nějakou konkrétní realitu v přírodě, zatímco "čistá" matematika je ryze abstraktní věda, pracující výlučně s obecnými, člověkem vytvořenými pojmy, představami a myšlenkovými konstrukcemi.

Až do 18. století bylo naprosto běžné, že významný matematik se zapsal též do dějin fyziky a často i naopak. Vznik mnoha matematických teorií byl motivován potřebami fyziky, fyzikové si je dokonce sami vytvářeli (např. Newton diferenciální počet). Dnes je sice již doba jiná, ale sepětí těchto dvou věd je snad ještě výraznější. Občas dokonce matematika fyziku předběhne a vytvoří teorii, jejíž fyzikální význam docení teprve budoucí vývoj. Profesionální fyzik dnes už sice není profesionálním matematikem, musí však ovládat matematiku natolik, aby byl schopen svůj fyzikální problém matematicky formulovat. Nemusí jej vždy umět vyřešit – to je posláním matematika. Ten však na druhé straně musí být natolik obeznámen s fyzikou, aby řešení, které předkládá, bylo fyzikálně interpretovatelné, to jest, aby dávalo nějaký konkrétní smysl.

Nauka o zanedbávání?

Tahle charakteristika fyziky většinou připadá studentům úsměvná. Ve skutečnosti však neznamená nic hanlivého, jak by se snad někomu mohlo zdát. Vyjadřuje naopak jednu z klíčových vlastností, bez níž by (řečeno s trochou nadsázky) sotva mohla fyzika dosáhnout takové teoretické úrovně, jakou se může na začátku 21. století vykázat. Zanedbání, která fyzik provádí, nejsou totiž důsledkem jeho nedbalosti nebo neúmyslného opomenutí či omylu. Jsou to zanedbání záměrná, úmyslná zjednodušení řešeného problému, který se tak stává snadněji řešitelným, a v neposlední řadě také snadněji přístupným pochopení pro studenty. A hlavně: zanedbání musí být promyšlená z hlediska oprávněnosti v dané situaci. To znamená, že fyzik si nikdy nesmí zjednodušit řešenou situaci natolik, aby takto získané řešení popisovalo realitu špatně, to jest v zásadním rozporu se zkušeností (pozorováním).

Proč je nutné zanedbávat? Prostě proto, že fyzikální realitu, která nás obklopuje, ani žádnou její část, nemůžeme nikdy postihnout v její celistvosti, popsat beze zbytku všechny jevy, které ji vytvářejí nebo se podílejí na jejím chování. Vždy je třeba vybrat jen určitou skupinu jevů či mechanismů, které se rozhodneme brát při řešení v úvahu, a pak je jen věcí vhodnosti nebo nevhodnosti takové volby, zda a do jaké míry se nám podaří přiblížit skutečnosti. Říkáme, že fyzika vytváří abstraktní modely této skutečnosti. S těmito modely (vlastně zjednodušenými popisy) také pracují všechny fyzikální teorie. Spíše než "nauka o zanedbávání" by se tedy možná mělo říkat "nauka o modelování".

Otázka, jaký model zvolit, čili které jevy zanedbat a které naopak vzít v úvahu, je klíčovou pro řešení každého fyzikálního problému. Volba správného modelu je tím, co je vlastně ve fyzice "uměním", v němž nemůže člověka nahradit ani ten nejvýkonnější počítač, uměním, které vyžaduje kromě potřebné sumy profesionálních znalostí a zkušeností také jistou dávku intuice a smyslu pro zodpovědné rozhodování. Model totiž musí být na jedné straně realistický (nesmí se příliš vzdálit od zkoumané skutečnosti), na druhé straně schůdně matematicky řešitelný, aby poskytoval možnost předpovědi, a tím i možnost svého prověření praxí. Tedy ani příliš jednoduchý ani příliš složitý, prostě zanedbávat se musí s citem.

Příklad modelu: padající cihla

(Tento článek lze při prvním čtení vynechat.)

To, že modely mohou být opravdu lepší nebo horší, ukážeme nejlépe na příkladu. Představme si, že řešíme pád cihly na zem z výšky dvaceti metrů. Jakým modelem popsat tuto situaci? Při uvažovaném ději se může uplatňovat řada vlivů, které však určitě nebudou mít stejnou důležitost pro řešení. Na první pohled je jasné, že jeden z těchto vlivů uvažovat musíme, totiž gravitaci. Řešit úlohu o pádu tělesa bez započtení gravitace by byl holý nesmysl, protože padání je způsobeno právě a jen gravitací, v našem případě zemskou. Další detaily modelu už ovšem mohou být různé. Než začneme cokoliv počítat, musíme si odpovědět přinejmenším na následující otázky:

1.         Máme brát v úvahu úbytek intenzity gravitace s výškou?

2.         Máme uvažovat vliv zemské rotace na pohyb cihly?

3.         Můžeme zanedbat vliv prostředí (odpor vzduchu) při pohybu?

4.         Máme se zabývat také rotačním pohybem cihly během pádu?

Jistě by bylo možno položit ještě mnoho otázek dalších, některé by mohly být jen dílčími podotázkami předešlých, např. při započtení odporu vzduchu závislost jeho vlastností na výšce a tak dále. Ale již z tohoto jednoduchého výčtu vidíme, jak závažná je otázka volby vhodného modelu, nebo, chcete-li, správného zanedbávání. Uvědomíme-li si, že na každou ze čtyř položených otázek můžeme odpovědět kladně nebo záporně, dostáváme (nejméně) 16 modelů popisujících výše uvedenou fyzikální situaci. Který model však zvolit? Pokusme se zhodnotit, co které zanedbání vlastně znamená a jak se projeví v konečném výsledku.

Ad 1: Newtonův gravitační zákon přesně popisuje, jak s rostoucí vzdáleností od Země slábne její gravitační působení. Čím je cihla výš, tím méně "váží", neboť na ni působí menší přitažlivá síla. Během pádu se pak tato síla zvětšuje, takže jde vlastně o velmi složitý pohyb v poli proměnné síly. Řešení takového pohybu je matematicky velmi obtížné a tematicky by spadalo spíše do astronomie, konkrétně do nebeské mechaniky. Na druhé straně lze jednoduchým výpočtem (nebo i pokusem) ukázat, že změna gravitační síly na výškovém rozdílu 20 metrů je tak nepatrná, že prakticky nemůže ovlivnit konečný výsledek v rámci dostupné přesnosti. Tuto změnu tedy můžeme s klidným svědomím zanedbat a považovat tím působící sílu za neměnnou (konstantní). Říkáme, že v našem modelu považujeme gravitační pole Země za homogenní. Jiná situace by ovšem byla, kdybychom řešili pád cihly z výšky 2000 kilometrů. Tam by se už nehomogenita gravitačního pole určitě projevila.

Ad 2: Zemská rotace (odstředivá síla apod.) působí na pohyb padající cihly rovněž. Vnesla by sem např. závislost řešení na zeměpisné šířce. Situace je však podobná jako předešle. Praxe ukazuje, že cihly padají ve všech místech na Zemi v podstatě stejně, tedy že vliv zemské rotace lze zanedbat. Obecněji vyjádřeno, druhá otázka se týká zanedbání tzv. setrvačných sil (uslyšíte o nich v mechanice). Modelová představa, kterou tím zavádíme, se označuje jako inerciální vztažný systém. Tímto zanedbáním tedy Zemi za takový systém považujeme, i když jím ve skutečnosti není. U padající cihly je to přípustné, jsou však i situace (např. Foucaultovo kyvadlo), v nichž si to dovolit nemůžeme.

Ad 3: Otázka sil odporu prostředí je ve fyzice velmi častá. Pohyb lze řešit s nimi i bez nich. Jejich zanedbání je opět věcí kvalifikované úvahy, v našem případě o tom, zda mohou nějak významně ovlivnit působení síly gravitační. Rozhodující jsou zde fyzikální vlastnosti uvažovaného tělesa a prostředí: u cihly ve vzduchu je můžeme bez obav zanedbat, tedy zavést modelovou představu bezodporového prostředí (což je vlastně totéž co vakuum). Kdybychom však místo cihly nechali padat list papíru, nebo kdyby se cihla místo pádu vzduchem potápěla do moře, museli bychom s odporovou silou počítat.

Ad 4: Cihla je těleso, které může kromě posuvného pohybu (pád) vykonávat také pohyb otáčivý. Otázka zní, nakolik může charakter rotační složky ovlivnit výsledné charakteristiky zkoumaného pohybu (např. dobu pádu). V tomto případě se opět ukazuje, že nikoliv, avšak v jiné fyzikální situaci může hrát rotace důležitou úlohu (stačí si např. představit válec, který bychom pouštěli po nakloněné rovině, přičemž jednou bychom ho nechali koulet a podruhé klouzat po podstavě). Jakou modelovou představu takovým zanedbáním zavádíme? To je docela jednoduché. Rotovat může jedině geometrické těleso, tedy něco, co má nějaké rozměry a nějaký tvar. Odhlédnout od možnosti rotace vlastně znamená zanedbat rozměry (velikost) tělesa, tedy pokládat je za bodové. Říkáme, že cihlu v našem modelu považujeme za hmotný bod.

Srovnejme si teď reálnou fyzikální situaci s modelem, který jsme pro ni vytvořili:

v realitě

v modelu

těleso (cihla)

hmotný bod

newtonovské pole

homogenní pole

zemská atmosféra (vzduch)

vakuum

rotující Země

inerciální vztažná soustava

Vidíme, že jsme zanedbávali opravdu vydatně – náš model je ze všech možných modelů ten nejjednodušší. V kinematice se dovíte, že jeho řešením je rovnoměrně zrychlený pohyb. Praxe ukazuje, že pro tento konkrétní případ je takovýto model plně dostačující. Kdybychom přijali model jiný, např. uvažovali všechny čtyři diskutované vlivy, asi bychom se přiblížili realitě o něco přesněji, ovšem za cenu nepředstavitelného zkomplikování řešené úlohy. Přitom výsledky obou metod by se nijak podstatně nelišily. Tento druhý model je tedy pro danou situaci naprosto nevhodný. To však neznamená, že nejjednodušší model je vždy ten nejlepší – přílišné zanedbávání může skutečnost nepříjemně zkreslit.


Jak studovat?

Profesionál je ten, kdo se nespokojí se svou úrovní,
 může-li dosáhnout vyšší pouhou prací.
(Dick Francis, britský spisovatel)

Než si začneme o fyzice povídat konkrétně, dovolte mi ještě několik praktických rad, jak byste měli k jejímu studiu přistupovat. Neberte je prosím jako nějaké samoúčelné mentorování. Přijměte je jako výsledek mé dlouholeté zkušenosti jak z vlastního studia, tak i z pedagogické praxe, a především jako projev mé upřímné snahy vám studium usnadnit a ne zkomplikovat. Chtěl bych vás na tomto místě ujistit, že vezmete-li následující řádky vážně, budete na nejlepší cestě nejen ke studijnímu úspěchu, ale i k tomu, abyste se ve fyzice cítili "jako doma", přestali jste se jí bát a začala vás bavit.

Nejdříve matematiku!

Jak jsme se již zmínili, matematika je nezbytným komunikačním nástrojem fyzika i studenta fyziky, jazykem, jímž fyzika vyjadřuje poznané přírodní zákonitosti. Nelze si proto představit studium fyziky bez potřebných matematických znalostí.

Představme si například, že navštěvujeme jazykové gymnázium, kde některé předměty, řekněme dějepis, jsou vyučovány v jiném než mateřském jazyce (dejme tomu v němčině). Lektor dějepisu je německý historik, který zná perfektně svůj obor, dovede ho i kvalitně vyučovat, ale neumí ani slovo česky. Jinými slovy, němčina se vlastně v tomto případě stane dorozumívacím jazykem ve věcech dějin. Je myslím zřejmé, že ani sám František Palacký by za takových okolností asi neměl z dějepisu jedničku, pokud by v první řadě neovládal vyučovací jazyk – němčinu. Ba co víc: musel by ji ovládat aktivně – to znamená nejen rozumět učiteli při výkladu a být schopen číst odbornou literaturu, ale také umět se v němčině ústně i písemně vyjadřovat.

V případě dějepisu je ovšem situace snadno řešitelná – je možné nahradit německého učitele českým, případně změnit školu. Problém s fyzikou spočívá v tom, že takovou "výměnu jazyka" prostě uskutečnit nelze – jinou řečí než "matematičtinou" se fyzikální poznání formulovat nedá. Alespoň všechny pokusy toho druhu v dějinách beznadějně ztroskotaly. Krátce řečeno, na rozdíl od dějepisu, který lze vyučovat stejně dobře francouzsky nebo česky jako německy, je matematika jazykem fyzice vlastním a nezastupitelným.

Možná že právě z toho pramení jistá nepopularita fyziky mezi středoškoláky. Nikde jinde totiž nevidíme tak silnou návaznost jednoho předmětu na druhý, žádný jiný předmět nepředpokládá v takové míře zvládnutí učiva předmětu jiného, jako právě fyzika ve vztahu k matematice. Učitel fyziky na gymnáziu, a to už od prvního ročníku, od svých studentů očekává, že mají dobře zvládnutou matematiku základní školy a že budou schopni průběžně využívat i poznatky získané jejím dalším studiem. Poznamenejme, že toto jeho očekávání je přirozené, právě tak jako přirozeně předpokládá znalost vyučovacího jazyka. On vlastně ani nemá jinou možnost. Objasňovat matematické učivo minulých ročníků není jeho posláním a nemá na to v hodinách fyziky ani čas.

A proto:

q       Nechcete-li s fyzikou ustavičně válčit a prožívat na jejích hodinách nekonečné stresy, nejprve dokonale zvládněte matematiku základní školy!!!

Přírodní nebo technická?

Když procházíme fyzikální kabinety našich základních a středních škol, nacházíme v nich pomůcky nejrůznějšího stáří (od dob starého Rakouska až po léta zcela nedávná) demonstrující, jak fyzika přispěla k technickému pokroku. Z doby Františka Josefa najdeme půvabný model parního stroje, z období První republiky modely spalovacích motorů, z padesátých let mohutný sovětský demonstrační elektromotor na třífázový proud a podobně. Když si vzpomenu na svá vlastní školní léta (mám teď na mysli základní školu) a prolistuji naše tehdejší učebnice, dělá na mě fyzika dojem převážně technické vědní disciplíny: v mechanice jsme se učili hlavně o jednoduchých strojích, v termice o motorech, v elektřině o generátoru, transformátoru a spotřebičích, v atomistice o jaderném reaktoru. Nechci podceňovat užitečnost těchto zařízení, ani praktický význam takovýchto znalostí. Mám pouze pochybnosti o tom, zda mají stát ve středu zájmu školské fyziky.

Trochu samozřejmě zjednodušuji, i my jsme se doslechli o důležitých fyzikálních veličinách a zákonech a na střední škole byla již situace jiná. Přesto však se nemohu zbavit pocitu, že výuka fyziky na gymnáziu někdy byla (a občas ještě je) nahlížena jako jakýsi technický výcvik, který by patřil spíše na střední průmyslovou školu nebo do odborného učiliště. [Když jsem na jednom pražském gymnáziu viděl za vitrínou vymontovanou převodovku, měl jsem za to, že paní ředitelka pronajímá posluchárnu fyziky autoškole. S jistým překvapením jsem vyslechl od studentů vysvětlení: „Ne, to se bere ve fyzice.“]

Je třeba si jednoznačně uvědomit, že fyzika je v první řadě přírodní a nikoli technická věda. Toto hledisko by měl uplatňovat především učitel na gymnáziu, které má být všeobecně a nikoli odborně vzdělávací školou. Netvrdím, že by neměly být jako příklady ze života uváděny technické aplikace, lze-li na nich nějakou zákonitost názorně demonstrovat. Měly by však být prostředkem a nikoli smyslem, okrajovou záležitostí a nikoli tematickým těžištěm látky. Tou má být objasňovaná přírodní zákonitost a ne zařízení, které ji využívá.

Stejně však by měl k fyzice přistupovat i student. Při studiu jakéhokoli oboru musíme totiž vždy postupovat podle určitého systému: jako první se snažíme ovládnout základní pojmy a vztahy, myšlenkovou kostru, tvořící to nejpodstatnější, o co v daném tématu jde. Touto kostrou jsou ve fyzice nepochybně kvantitativní vztahy v přírodě, fyzikální zákony. Na ně lze pak "navěsit" jejich konkrétní důsledky pro určité fyzikální situace, např. také jejich využití v technice. [Příklad: Rozumím-li zákonu elektromagnetické indukce, snadno si vysvětlím konstrukční princip generátoru střídavého proudu, avšak ani nejdokonalejší technický popis generátoru mě nepřivede k formulaci zákona, a tím méně k jeho pochopení.]

To všechno chce říci:

q       Studujte fyziku v první řadě jako přírodní vědu. Technice, jako něčemu odvozenému, pak porozumíte snadno. Opačný postup, i když se někdy může zdát motivující, obvykle nevede k ničemu.

Úsilí nebo nadání?

Když jsem jednou v neformálním dialogu otevřel otázku, proč jsou asi matematika a fyzika tradičně nejproblémovějšími a nejneúspěšnějšími předměty v našem školství, dostalo se mi odpovědi, že „na to přece musí být talent“. Nejsem si jist, zda je možné se s takovým vysvětlením docela spokojit. Na jedné straně si totiž sotva lze představit lidskou intelektuální činnost, k níž není třeba žádného talentu, takže ze stejného důvodu by měly být stejně neúspěšné a nepopulární i předměty jiné. Nikdo jistě nebude pochybovat o tom, jak nezbytný je talent k hudbě, a přesto z hudební výchovy nikdo nepropadá. Na straně druhé nelze pominout početný zástup úspěšných absolventů gymnázií, kteří zde získávali často i velmi slušné známky, a přesto v dalším životě ničím výrazným nevynikli, dá se tedy říci, že neprokázali žádný výjimečný talent (k nim se počítám i já sám). Tato zkušenost ukazuje, že pro úspěšné zvládnutí studia na gymnáziu vlastně talent potřeba není. Naopak je známo, že výrazné talenty mívají často nečekané studijní obtíže.

Chápete už? Matematický talent je jistě nutný, chci-li být profesionálním matematikem, podobně jako talent hudební, chci-li komponovat nebo se stát koncertním mistrem. Není však nezbytný, chci-li mít jedničku z matematiky nebo z hudební výchovy!

Jedním z nejrozšířenějších pedagogických nedorozumění je totiž záměna pojmů talent a intelekt. Jaký je v tom rozdíl? Intelekt bychom mohli, s trochou zjednodušení, definovat jako schopnost učit se, přičemž na konkrétním předmětu učení nezáleží, tedy schopnost učit se jako takovou. Tím se právě liší od talentu, který lze obdobně charakterizovat jako schopnost učit se určitou věc. Neboli: zatímco talent (nadání) je věcí speciální (týká se činnosti určitého charakteru, je nadáním pro něco), je intelekt charakteristikou obecnou, nespecifickou. Jinak řečeno, je mnoho druhů talentu, ale pouze jeden intelekt. A právě ten je třeba mobilizovat, má-li se dostavit úspěch ve studiu. Smím-li to vyjádřit lapidárně: student gymnázia nemusí být vůbec nadaný, ale prostě nesmí být hloupý. A chytří nebo hloupí nejsme "na něco", to buď jsme nebo nejsme.

Samotné slovo intelekt pochází z latiny, je odvozeno z předložky inter (mezi) a slovesa legere (číst). Rozumějte: "číst mezi", tj. domyslet si nevyslovené, dát si věci do správných souvislostí, proniknout do problému, porozumět, tvořivě myslet. A právě tuto schopnost u vás má studium především rozvíjet, a ovšem také prověřovat. Posláním klasifikace na gymnáziu není tedy být filtrem talentů, nýbrž filtrem intelektových schopností.

V nadpisu článku je zmíněn také pojem úsilí (lze nahradit synonymy jako píle, snaha, pracovitost a podobně). Latinský výraz pro ně zní studium a souvisí se slovesem studere, jehož původní význam je "usilovat", "snažit se". Student je tedy především člověk snažící se či usilující o něco, v dnešním významu o dosažení nějaké úrovně vzdělání. Nechci zde ovšem tuto stránku "studia" přeceňovat příliš, stejně jako nechci nespravedlivě podceňovat nadání. Talent může nesporně způsobit, že některé předměty půjdou určitému studentu snadněji než jiné, může mu tedy ušetřit vynaloženou energii a čas. Kde talent chybí, musí (a může!) jej úsilí plně nahradit. Co však chybět nesmí, je intelekt: ten žádným úsilím ani talentem nahradit nelze.

Vraťme se tedy k úvodní otázce, která z diskutovaných kvalit je zárukou studijního úspěchu (nejen) ve fyzice. Odpověď zní jednoznačně: v první řadě intelekt, podpořený úsilím. Přidruží-li se ještě nadání, jste ideálně vybaveni ke studiu (nejen) na střední škole. Ne-li, není to žádný důvod k pesimismu, lze se bez něj docela dobře obejít. Proto:

q       Nikdy své případné studijní neúspěchy nesvádějte na nedostatek talentu, je to bohapustá výmluva!

Logika nebo paměť?

Často bývají dávány do protikladu tzv. "vědy logické" a "vědy memorativní", rozlišené podle toho, zda více zatěžují rozumovou nebo paměťovou stránku intelektu. K prvním bývá řazena vedle matematiky též fyzika, ale třeba také filosofie a obecná jazykověda, do druhé skupiny většina věd humanitních, ale také některé části chemie a biologie, a především medicína. Toto rozdělení nelze zajisté provést absolutně, v každém vědním oboru jsou zastoupeny obě složky. Je ovšem pravda, že jedna obvykle převládá nad druhou a určuje tak celkový charakter té které vědy. Nebo přesněji, určuje charakter jejího studia.

Na tomto místě asi čekáte, že jednoznačně zavrhnu pamětní učení a budu prosazovat výlučně rozum a logiku. Tak jednoduché to ovšem není. Je samozřejmě nesmysl učit se odříkávat zpaměti články z učebnice – taková pošetilost by vás snad ani nenapadla. Fyzika se skutečně vyznačuje tím, že podíl informací, které je nutno si pouze pamatovat, je ve srovnání s jinými vědami velmi nízký – asi jako v matematice. To však neznamená, že zde nejsou, nebo že jsou méně důležité. Naopak: patří sem právě to hlavní, co fyzika zkoumá, totiž přírodní zákony. Ty nám nezbývá než přijmout jako zkušenostní danost, z níž jsou pak logicky vyvozovány všechny další důsledky. Jinými slovy: zákony nemohou z ničeho plynout, má-li naopak všechno plynout z nich.

Dalším typem informací, které nelze zvládnout jinak než pamětí, je všechno, co je dáno lidskými konvencemi a dohodami. Žádnou logickou ani přírodovědnou úvahou nelze dospět k tomu, že veličina zvaná hmotnost má značku m, že její jednotkou je kilogram a jak velká je tato jednotka. To je třeba prostě vědět. Na druhé straně jistě nemá smysl přetěžovat paměť spoustou vzorců, které lze jednoduše vyvodit prostředky matematiky a logického myšlení. Klíč k úspěchu tedy rozhodně není ve fenomenální paměti, ale ani v bezvýhradném spolehnutí na deduktivní logiku. Spočívá však ve schopnosti správně rozeznat, co je třeba zvládnout rozumem a co pamětí.

q       Pamatovat si je třeba především názvosloví (terminologii), význam používaných pojmů, především fyzikálních veličin a jejich jednotek, a dále znění základních fyzikálních zákonů.

q       Porozumět je třeba obsahu těchto zákonů, jejich důsledkům, a především tomu, jak z nich lze tyto důsledky odvodit.

To obojí je však možné, a má smysl, pouze za předpokladu, že si pod daným pojmem, zákonem nebo vztahem dokážete vždy něco konkrétního představit. Za každým symbolem musíte vidět jeho význam či obsah. Jinak se vám fyzika stane řečí mrtvých znaků a vaše učení ubíjející a nesmyslnou dřinou, podobnou mechanickému memorování nesrozumitelných textů v neznámém jazyce. Je tedy třeba užívat především představivost, bez níž bychom žádnému fyzikálnímu zákonu nikdy neporozuměli. [Dovolím si dokonce citovat jeden téměř "kacířský" výrok Einsteinův: „Představivost je důležitější než vědění“.] Na ni pak navazuje logické myšlení (matematika!), které nám umožňuje dovodit jeho důsledky. Teprve ve třetí fázi nastupuje paměť, která pak už má snadnou úlohu "skladovat" to, co bylo předtím zvládnuto rozumově (čemu jsme dobře porozuměli, to si i dobře pamatujeme).

q       Neučte se fyziku mechanickým "biflováním", ale vždy se snažte problému porozumět.

q       Nové pojmy se neučte jako prázdná slova nebo mrtvé definice, ale pod každým se snažte si představit jeho obsah.

q       Fyzikální zákony a jiné z nich odvozené vzorce se vždy snažte interpretovat, tzn. uvědomit si, jakou výpověď o přírodě v sobě nesou.

Jednotlivosti nebo celek?

Snad žádný jiný vyučovací předmět se nevyznačuje takovým stupněm návaznosti jednotlivých témat jako fyzika a matematika. Bez nadsázky lze říci, že poznatky ze začátku prvního ročníku budete používat až do maturity. Fyziku se nelze učit systémem "kapitola po kapitole", tedy tak, že se vždy naučím jen právě probíranou látku a všechno předcházející vypustím někam do ovzduší. Bez trvalého zvládnutí zákonů mechaniky nemůžete vyřešit ani nejjednodušší problém např. z kinetické teorie plynů nebo z elektrostatiky, bez znalosti zákonů akustiky nikdy neporozumíte vlastnostem elektromagnetických vln a optice, a zapomenete-li to, co se naučíte z elektřiny a magnetismu, nemůžete porozumět stavbě atomu. Jednotlivé poznatky mají při studiu fyziky smysl tehdy a jen tehdy, jsou-li zasazeny do širšího rámce fyzikálních představ, který se vytvářel celým předchozím studiem. Vytrženy z těchto souvislostí jsou bezcenné. K čemu by bylo např. naučit se zpaměti vzorce teorie relativity, kdybychom mezitím zapomněli jim odpovídající vztahy klasické mechaniky? Snad by se nám i podařilo jejich pomocí vyřešit nějakou konkrétní úlohu, nikdy bychom však neporozuměli jejich smyslu, nedokázali bychom ocenit to, v čem teorie relativity klasickou mechaniku zobecňuje a překonává. Fyzika je typická právě tím, že každou jednotlivou zákonitost nahlíží z perspektivy celku, začleňuje ji do komplexního obrazu přírody a světa, který buduje. (Vzpomeňte si na starší označení fyziky jako "přírodní filosofie"!)

A poučení?

q       Nenechte se nikdy zlákat oblíbenou studentskou taktikou "ventilu v hlavě"! Je to dvojsečná zbraň, která se dříve nebo později obrátí proti vám!

Deset rad na závěr

1.         Fyziky se nebojte! Sotva kdy dosáhnete úspěchu v něčem, co budete dělat ve stresu nebo k čemu budete už předem přistupovat s poraženeckou náladou. Chce to naopak trochu zdravé sebedůvěry a víry ve vlastní schopnost zvládnout to přinejmenším stejně dobře, jak to zvládly stovky generací před vámi. Zejména se zbavte averze, pokud ji náhodou k fyzice chováte. Letitá zkušenost říká, že co nás baví, to nám také jde, a naopak.

2.         Snažte se co nejefektivněji využívat vyučovací hodiny. Pozorně sledujte výklad a když něčemu nebudete rozumět, neváhejte se zeptat (samozřejmě vyučujícího, ne souseda v lavici). Vaše otázka ovšem musí být konkrétně cílená a jasně formulovaná. Pak svědčí o tom, že hodinu sledujete pozorně a se snahou o porozumění, a každý učitel vám na ni rád odpoví. Naopak hlášky typu „já tomu vůbec nerozumím“ neomylně prozrazují studenta, který se ani porozumět nepokouší, hodiny se účastní pasivně a nejspíš očekává, že mu látka, lidově řečeno, "nateče do hlavy samospádem". Na takovou "otázku" (vlastně to ani otázka není) odpověď neexistuje. Stručně řečeno:

q          Student nemusí vždy znát správnou odpověď, ale musí umět položit správnou otázku.

Také si však předem rozmyslete, zda se vaše otázka opravdu týká právě probírané látky a ne něčeho, co byste měli znát už dávno (typicky: nějaké elementární matematické úpravy). Takovým dotazem byste hodinu jen zdržovali a odváděli vyučujícího od tématu. Naopak dotazy "k věci" do hodiny jednoznačně patří a správný učitel je ocení.

3.         Nepodceňujte domácí přípravu. I když třeba těžiště vašeho studijního zájmu je jinde, fyzika je předmět jako každý jiný a určitou část vašeho času si nárokuje. Jen málokterý student vystačí s tím, co pochytí přímo v hodině.

4.         Pokud náhodou nestíháte vstřebávat učební látku, nekupujte si drahé doučování, ale v první řadě požádejte svého vyučujícího o konzultaci. Kvalitní učitel vám ji neodmítne. Přijďte na ni dobře připraveni – s promyšlenými otázkami nebo rozpracovaným úlohami. Jen tak má smysl, jinak je jen zabíjením času a plýtváním silami (na obou stranách).

5.         Neomezujte se jen na jeden zdroj informací – školní učebnici. Naučte se vyhledávat informace v odborné a populární literatuře, v časopisech a případně na Internetu. Určitě si přečtěte aspoň jednu populární knížku o fyzice (fyziku se z ní sice nenaučíte, ale otevře se vám na ni jiný pohled). Na druhé straně si však nezahrávejte s myšlenkou nahradit "poctivou" učebnici různými "stručnými přehledy" nebo "fyzikami do kapsy". Ty mohou být dobrými pomůckami pro souhrnné opakování toho, co už jste jednou nastudovali (např. před maturitou), ale učebnici plnohodnotně nezastoupí.

6.         Vybavte se nezbytnými studijními pomůckami a naučte se je používat. Kromě základní učebnice byste měli mít k dispozici přinejmenším:

·            fyzikální tabulky,

·            sbírku úloh,

·            sbírku řešených úloh.

7.         Kromě "školního" sešitu na poznámky z hodin si založte zvláštní sešit na řešení úloh (ideální je kroužkový pořadač, kam si budete své práce zakládat). Čím více úloh vypracujete, čím přehledněji je uspořádáte a čím častěji si je budete po sobě pročítat, tím lépe budete připraveni na písemné testy. Učitelem opravené testy si archivujte také, spolu se vzorovým řešením. Pomůže vám to poučit se z vlastních chyb.

8.         Pořiďte si kvalitní kalkulátor. V žádném případě nespoléhejte na "vestavěnou" kalkulačku v mobilním telefonu a podobné hračky! Váš kalkulátor musí nabízet přinejmenším standardní matematické funkce (obecnou mocninu a odmocninu, funkce goniometrické a k nim inverzní, exponenciální a logaritmické), měl by umět pracovat s číslem ve smíšeném tvaru a s úhly jak ve stupňové, tak v obloukové míře. Složitější úlohy neváhejte řešit pomocí osobního počítače.

9.         Do vaší výbavy by mělo patřit i rýsovací náčiní včetně barevných tužek nebo tenkých fixů. Čím kvalitněji si totiž budete kreslit obrázky a schémata, tím lépe se v nich sami vyznáte. Vůbec dbejte na úpravu svých písemností (poznámky, písemné testy atd.), je to ve vašem zájmu. Obecně řečeno: pracujte profesionálně!

10.     Pilně si vyrábějte taháky. Ano, čtete dobře. Říkám: vyrábějte, ne používejte. Výroba taháků je vysoce efektivní metodou učení. Vlastně se tím učíte dělat si výpisky z odborné literatury. Ideální je opisovat a optimalizovat stejný tahák několikrát po sobě, až ho dovedete k naprosté dokonalosti. Tím si látku výborně zopakujete a sami rozpoznáte, co je v ní ústřední a co okrajové. Před písemným testem ho však bez výčitek svědomí hoďte do koše; svou úlohu už splnil.


Než doopravdy začneme

Na místa, kam stojí za to jít, nevedou žádné zkratky.
(Beverly Sillsová, americká sopranistka)

V této kapitole se toho z fyziky, přísně vzato, ještě mnoho nedovíte. Obsahuje určité základní znalosti, které by si měl student osvojit, než se vůbec do fyziky pustí, a bez nichž vlastně ani fyziku kvalitně studovat nelze. Nepůjde tedy ještě o "opravdovou fyziku", ale půjde už o "opravdové studium". Smím-li vám radit, čtěte tuto kapitolu důkladně, nejlépe několikrát. Není nijak zvlášť obtížná a to, co se v ní naučíte, uplatníte od první hodiny fyziky na gymnáziu až do maturity, případně i při jejím dalším studiu, pokud se pro ně rozhodnete.

Něco o veličinách

Co je fyzikální veličina, jistě víte: je to fyzikální pojem, který se dá buď měřit nebo z měřených údajů vypočítat, tedy něco, co může (a musí) mít nějakou velikost. Znáte řadu veličin, jako délku, hmotnost, čas, teplotu, rychlost, elektrický proud a podobně. Víte také, že skoro každá fyzikální veličina má svou jednotku, v níž její velikost vyjadřujeme čili měříme. Jaký smysl by mělo např. tvrzení „tento provaz je dlouhý deset“? Nevíme, zda deset metrů, sáhů nebo palců. Vzdálenost z Prahy do New Yorku je šest a půl tisíce, zatímco k nejbližší hvězdě "pouze" čtyři. Kam je blíže? Samozřejmě do New Yorku, neboť první vzdálenost je vyjádřena v kilometrech, kdežto druhá ve světelných rocích.

Uvedený příklad snad dost názorně ilustruje, že samotná číselná hodnota veličiny bez udání jednotky nemá žádný význam, neobsahuje žádnou použitelnou informaci. Pamatujte proto: veličinu tvoří vždy jak číselná hodnota, tak jednotka. Nikdy nemůžete tyto dvě složky od sebe oddělit!

Je třeba to mít na paměti především při numerickém řešení úloh. Představme si například, že máme určit rychlost auta, které za 2 hodiny ujelo vzdálenost 144 kilometrů. Víme, že pro určení rychlosti je třeba dělit dráhu časem, a tak bychom napsali:

v = 144 / 2 = 72.

Z hodin fyziky také víme, že jednotkou rychlosti je metr za sekundu, takže bychom napsali odpověď, že auto jelo rychlostí v = 72 m/s. Je to samozřejmě hluboký omyl, který vznikl tím, že jsme výpočet prováděli bez jednotek, v nichž jsou vstupní veličiny úlohy zadány. Korektní postup musí vypadat takto:

v = s / t

v = 144 km / 2 h = 72 km/h.

Vidíme, že při důsledném dosazování veličin i s jednotkami nemůže dojít k nedorozumění. Mohli bychom ovšem také použít jednotky jiné, známe-li způsob převodu:

v = (144·1000 m) / (2·3600 s) = 20 m/s.

Zde jsme od začátku používali jako jednotky metr a sekundu, které jsou (jak asi víte) hlavními jednotkami délky a času (podrobněji viz níže). Podstatné je, že jednotka musí provázet veličinu po celou dobu výpočtu, nemůže se tedy najednou odkudsi "vynořit" až u výsledku. Mohlo by to totiž dopadnout přesně jako v našem "odstrašujícím" příkladu.

Někdy se používá následující symbolika: samu číselnou hodnotu veličiny značíme pomocí složených závorek, kdežto její jednotku pomocí závorek hranatých. Veličinu pak můžeme formálně chápat jako součin její číselné hodnoty a jednotky, např. v = {v}·[v]. V našem příkladu pracujeme se třemi veličinami: drahou s, časem t a rychlostí v. Symbolicky můžeme zapsat:

{s} = 144, [s] = km,

{t} = 2, [t] = h.

Potom platí

{v} = {s} / {t} = 144 / 2 = 72,

a ovšem také

[v] = [s] / [t] = km/h.

Provedeme-li oba tyto výpočty, máme plné právo zapsat výsledek

v = 72 km/h.

Takto lze také postupovat, nesmíme ovšem zapomenout na to, že původní vztah v = s t se rozpadl na vztahy dva, jeden pro číselnou hodnotu a druhý pro jednotku. Druhému vztahu, vlastně výpočtu výsledné jednotky, se říká rozměrová zkouška. Zapamatujte si, že zvolíte-li tento postup, nesmí v řešení úlohy chybět!!!

[Poznámka: Mezi oběma způsoby zápisu lze zvolit určitý kompromis. Spočívá v tom, že nejprve provedeme (výše naznačeným způsobem) rozměrovou zkoušku. Při numerickém výpočtu pak sice nepoužíváme složené závorky, avšak výslednou jednotku uvedeme na konci. Příklad viz níže.]

q       Při výpočtech konkrétních hodnot fyzikálních veličin vždy dosazujeme do vzorců jak číselné hodnoty, tak jednotky. Úpravy můžeme dělat buď pohromadě (doporučuji!) nebo zvlášť – pomocí závorkové symboliky. V žádném případě však výpočet jednotky (rozměrovou zkoušku) nelze opomenout.

q       Nevychází-li výsledná veličina ve správných jednotkách (tj. nevyjde-li rozměrová zkouška), je řešení nepochybně špatné.

S nedůslednostmi v této oblasti souvisí další okruh chyb, kterým se lidově říká "sčítání jablek a hrušek", nebo fyzikálněji "sčítání metrů s litry". Každý si jistě uvědomuje nesmyslnost tvrzení jako „dva metry a tři kilogramy je dohromady pět“. Veličiny různých fyzikálních rozměrů (jednotek) sčítat nelze, už proto, že není jasné, jakou jednotku by měl takto vzniklý součet mít. Kdybychom však přestali ve výpočtech uvádět jednotky veličin, snadno bychom tuto přirozenou zábranu mohli ztratit, protože dva a tři opravdu pět je. Jak nesmyslná tvrzení tím mohou vznikat (a bohužel vznikají!), není snad třeba rozvádět.

Stejně nesmyslná by byla otázka jako: „Co je víc, tři metry nebo deset sekund?“. Deset je jistě víc než tři, ale sekunda není víc než metr! Délku je možné porovnávat zas jen s délkou, čas s časem, hmotnost s hmotností a tak dále. Případná námitka, že lze přece porovnávat samotné číselné hodnoty bez ohledu na jednotky, je naivní. Číselná hodnota veličiny totiž podstatně závisí na zvolené jednotce, sama o sobě neznamená nic.

Do této skupiny chyb lze zařadit také nesprávné používání matematických funkcí. Ve fyzice se velmi často setkáte s funkcemi, které jste poznali nebo poznáte v matematice, jako jsou sinus, kosinus, tangens, logaritmus, exponenciála a řada dalších. Měli byste už například vědět, že první tři jmenované funkce nazýváme goniometrické, neboli funkce úhlu. Ale pozor: je úhel v pravém slova smyslu fyzikální veličina? Jaká je jeho jednotka? Asi mi odpovíte: stupeň, případně radián. Uvědomte si však, že s úhly pracuje už matematika (konkrétně geometrie), která, jak víme, není podmíněna fyzikou a tím ani žádnou soustavou fyzikálních jednotek. Úhel je veličina čistě matematická, prostě nějaké číslo. Zda je vyjádřen ve stupňové nebo obloukové míře, je v této chvíli vedlejší. Z hlediska fyzikálního žádnou jednotku nemá, říkáme, že je bezrozměrnou veličinou. Jen díky tomu jej také můžeme do těchto funkcí dosazovat. Představte si, že bychom chtěli určit sinus délky nebo času, třeba pěti metrů nebo pěti sekund. Jistě je možné určit sinus pěti (řekněme radiánů), ale žádným způsobem nemůžete určit sinus metru nebo sinus sekundy! Matematika to prostě nezná. Totéž platí i o dalších funkcích: nikdy nemůžete logaritmovat délku, hmotnost nebo energii, ale vždy jen poměr dvou délek, hmotností nebo energií. Poměr dvou veličin stejného rozměru je totiž zákonitě bezrozměrný, neboť jednotky se při jeho výpočtu krátí.

Pamatujte:

q       Sčítat, odčítat a porovnávat lze jen veličiny stejného fyzikálního rozměru, tedy stejné jednotky!

q       Argumentem matematické funkce může být jen bezrozměrná veličina!

Něco o jednotkách

O významu a důležitosti jednotek fyzikálních veličin teď už snad nikdo nepochybuje. Ale proč měříme právě v takových jednotkách a ne v jiných, a jsou to vůbec ty "správné" jednotky? Jak to rozhodnout?

Vzpomínám si, že když jsem navštěvoval základní školu, panoval v jednotkách neuvěřitelný zmatek. Zaprvé, volba jednotek byla motivována spíše potřebami technické praxe než fyzikální teorie. Zadruhé, každá oblast fyziky si vytvářela své vlastní jednotky, bez zvláštních ohledů na oblasti jiné. Důsledkem bylo, že např. tlak se měřil jednou v torrech, podruhé v barech a milibarech, jindy opět v atmosférách. Snad nejpodivnější situace byla u energie: v mechanice jsme ji měřili v kilopondmetrech, v termice v kaloriích, v elektřině ve watthodinách, v atomistice v elektronvoltech. Kdo se v tom měl vyznat? Náplň vyučovacích hodin tak často tvořilo nudné (a pracné – o kalkulačkách se nám ještě ani nezdálo) přepočítávání hodnot z jedněch jednotek na jiné – žák musel nosit v hlavě bezpočet převodních koeficientů, o nichž ani netušil, kde se vzaly. Že pak fyzika bavila jen málokoho, se ani nelze příliš divit.

Aby tyto zbytečné komplikace odstranili, vytvořili si fyzikové tzv. mezinárodní soustavu jednotek. Ta současná je známá pod zkratkou SI (Système International) a byla přijata na konferenci v Paříži roku 1960. [Předcházel tomu dost komplikovaný vývoj, na jehož líčení zde není prostor. Poznamenejme jen, že některé starší knihy o fyzice používají předcházející soustavu CGS.] Soustava SI má oproti výše popsanému stavu řadu výhod. Především zavádí pro každou veličinu jednu jednotku, kterou nazýváme hlavní (např. pro délku metr, pro čas sekundu, pro sílu newton atd.). Ostatní, pokud existují, jsou vedlejší (hodina, den apod.) a používáme je jen výjimečně. Ještě významnější je, že malá skupina jednotek (konkrétně sedm) byla vybrána za základní, všechny ostatní jednotky jsou pak z těchto základních jednotek odvozené pomocí známých fyzikálních vztahů. Jednoduchý příklad: Asi víte, že mezi základní jednotky patří kilogram, metr a sekunda. Z kilogramu a metru je odvozena jednotka hustoty (kg·m-3), z metru a sekundy jednotka rychlosti (m·s-1) a zrychlení (m·s-2) prostřednictvím definičních vztahů pro tyto veličiny (viz níže). Rovněž jednotku síly (newton) odvodíme z těchto základních jednotek, tentokrát pomocí rovnice F = m·a (2. pohybový zákon): N = kg·m·s-2. Každou odvozenou jednotku můžeme takto "rozložit" na jednotky základní, což má zásadní význam pro rozměrové zkoušky. Tyto rozklady si však naštěstí není nutné pamatovat; pokud známe příslušný vztah pro veličinu, jednotku (fyzikální rozměr) snadno odvodíme. [Poznámka: Do jisté míry je to možné i obráceně – když náhodou zapomenete vztah mezi veličinami, mohou vám jednotky napovědět.]

Závěrem poznamenejme, že soustava SI zdaleka není dokonalá. Už to, že za základní jednotku byl zvolen kilogram (předpona!), působí jako rušivý prvek. Nadto se fyzika stále ještě hemží spoustou "univerzálních" konstant, které by nemusely existovat (resp. rovnaly by se jedničce), pokud bychom měřili ve vhodněji zvolených jednotkách. [Připomeňme si, že metr a sekunda byly původně odvozeny z rozměrů a rotace Zeměkoule, kilogram následně z hustoty vody. Tedy nikoli z obecných charakteristik přírody, ale z věcí, majících speciální vztah k nám lidem.] Nicméně představuje soustava SI rozumný kompromis – na jedné straně je dostatečně přehledná a umožňuje snadno odvozovat jednotky, na straně druhé nečiní potíže při použití v praxi. A co je pro nás rozhodující – používat ji tak jako tak musíme, neboť nám to nařizuje státní norma.

q       Před každým výpočtem převádíme všechny vstupní veličiny na jednotky soustavy SI, pokud možno na jednotky hlavní.

q       Při rozměrové zkoušce zpravidla vyjadřujeme odvozené jednotky pomocí jednotek základních. Výslednou jednotku případně můžeme zpětně interpretovat pomocí jednotek odvozených.

(Příklad viz níže v kapitole o fyzikálním pravopise.)

Něco o vztazích

Nejrůznější fyzikální situace a děje popisuje tedy fyzika pomocí veličin. Vlastním obsahem fyziky je pak hledání vzájemných souvislostí (vztahů) mezi veličinami. Tyto vztahy jsou – jak jinak? – vyjadřovány matematicky, tj. mají formu matematických vzorců a rovnic.

Některé obtíže a nedorozumění při studiu fyziky vznikají z toho, že si studenti neuvědomují existenci dvou základních "druhů" fyzikálních vztahů. Je totiž třeba důsledně rozlišovat:

(1)

definiční vztahy fyzikálních veličin, a

(2)

fyzikální zákony a jejich důsledky (věty).

První skupinu tvoří vztahy (vzorce), jimiž se zavádí (definuje) nějaká nová, dosud nepoužívaná fyzikální veličina. Výše použitý vztah pro rychlost je vztahem definičním: vysvětluje, co se pod pojmem rychlost rozumí, určuje význam symbolu v. Podobně např. definujeme veličinu zrychlení nerovnoměrného pohybu jako přírůstek rychlosti za jednotku času, takže příslušný definiční vztah zní

a = Dv / Dt.

(Symbolem D značíme změnu, přírůstek, rozdíl konečné a počáteční hodnoty.) Definiční vztah zároveň určuje jednotku zaváděné veličiny (zde m·s-2). Z fyzikálního hlediska je však čirou konvencí (dohodou) mezi autorem a čtenářem, o vlastní fyzice neříká nic.

Zcela odlišný charakter má však jiný vztah pro zrychlení, který poznáme v dynamice jako tzv. druhý Newtonův pohybový zákon:

a = F / m.

Tento vztah již neodpovídá na otázku co je zrychlení, nýbrž jakou má vlastnost. Vypovídá o této veličině cosi nového, ne-samozřejmého, co není bezprostředně vidět z definice: informuje nás o závislosti této veličiny na veličinách jiných, zde konkrétně na působící síle a hmotnosti uvažovaného tělesa. To již není pouhá konvence bez vlastního fyzikálního obsahu. Dovídáme se určitou informaci o chování přírody, tedy určitý přírodní zákon.

q       Definice vysvětluje význam nějakého pojmu, např. určité fyzikální veličiny.

q       Zákon (nebo věta) uvádí definované veličiny do souvislostí, informuje o jejich vlastnostech a závislostech.

Situace ovšem není vždy takto přehledná. Některé vztahy mohou plnit současně obě funkce. Vezměme například Ohmův zákon

I = U / R.

Říká, že proud procházející vodičem je přímo úměrný napětí na jeho koncích. Obě tyto veličiny (proud i napětí) jsou korektně definovány jinými vztahy, zde tedy vystupují již jako známé pojmy, o nichž se cosi vypovídá. Současně však tento vztah zavádí (definuje) novou veličinu R – elektrický odpor – jako konstantu úměrnosti mezi oběma. Je tedy zároveň zákonem i definičním vztahem. Proč nám to nevadí? Protože každou z těchto funkcí plní pro jiné veličiny (pro napětí a proud je zákonem, pro odpor definicí). Obvykle se však snažíme obě funkce oddělovat.

Mocná zbraň: algebra

Představme si, že bychom měli určit hodnotu nějakého matematického výrazu, například

.

Při "poctivém" výpočtu budeme postupně provádět všechny naznačené početní operace, až dospějeme k výsledku:

.

Po nějaké době budeme postaveni před úkol spočítat hodnotu zlomku

.

Stejným postupem najdeme:

.

Oba výrazy se sobě dost podobají, liší se jen v tom, že pětka z prvního zlomku je ve druhém nahrazena sedmnáctkou. Podobně bychom mohli napsat stejný zlomek s jakýmkoli "vstupním" číslem a se stejnou poctivostí provádět všechny naznačené výpočty. Přitom je na první pohled vidět, že čím "delší" (víceciferné) číslo zvolíme, tím zdlouhavější a namáhavější bude výpočet, zvláště budeme-li jej provádět bez nasazení elektronické výpočetní techniky. Na druhé straně však zjistíme, že výsledek bude vždy o jedničku menší než výchozí hodnota dosazená do zlomku. Nedalo by se toho nějak využít k usnadnění práce?

S touto geniální (a tak jednoduchou) myšlenkou přišli arabští matematici ve středověku. Jejich řešení bylo vpravdě revoluční. Spočívá totiž v nahrazení konkrétního čísla obecným symbolem (např. písmenem), který tuto číselnou hodnotu zastupuje. Ovšem už ne jen pětku nebo sedmnáctku, nýbrž jakékoliv číslo. Tím jsme z "počtů" rázem v algebře. Napíšeme-li

,

provedli jsme vlastně ne jeden, ale nekonečné množství výpočtů současně, neboť symbol a zde může znamenat nekonečně mnoho různých konkrétních čísel. Vztah, který jsme právě napsali, tedy představuje jakousi obecnou pravdu, která nám při konkrétních aplikacích může výrazně usnadnit život. Představme si na místě symbolu a třeba číslo 1543254123699854! Než bychom ručně (nebo i na kalkulačce) provedli všechny početní operace ve zlomku na levé straně, zešedivěly by nám vlasy, nehledě k tomu, že výpočty by určitě poznamenaly výsledek zaokrouhlovací chybou. Naproti tomu odečíst jedničku dokážeme rychle a naprosto přesně.

Hlavní význam algebry je právě v obecnosti takto symbolicky zapsaných vztahů. Je ale samozřejmé, že než začneme takové pravidlo využívat, je třeba prověřit jeho správnost, jeho obecnost je třeba nejprve dokázat. To znamená přesvědčit se, že zákonitost odhalená na několika případech není náhoda, která by se u jiného čísla nemusela opakovat. Početní výkony, které bychom jinak prováděli pokaždé s různými čísly znovu, musíme tedy provést jednou provždy s obecnými symboly – písmeny. V uvedeném příkladu bychom se mohli přesvědčit např. roznásobením:

(a – 1)·(a2 + a + 1) = a3 – a2 + a2 – a + a – 1 = a31.

[Také bychom se měli přesvědčit o podmínkách řešitelnosti takové úlohy, zda totiž pro některá a není jmenovatel roven nule. Zkuste si to jako cvičení!]

Síla algebry jako zbraně v ruce fyzikově (tím míním i studujícího) spočívá především v tom, že mu umožňuje tvořit obecná řešení úloh, to znamená řešení nezávislá na hodnotách vstupních veličin. Problém je jen a jen v tom, že je třeba si na algebraické postupy prostě zvyknout. Ze zkušenosti vím, že právě to je u studentů největším zdrojem potíží. U většiny svých žáků se setkávám s až panickou hrůzou před obecnými úpravami výrazů a vztahů, tedy před algebrou. Mnozí budou raději otrocky mocnit, násobit, sčítat, odčítat a dělit dvacetimístná čísla, než by se odvážili jednoduchého počítání s písmeny. Přitom je použití algebry nejen mnohem účinnější co do obecnosti, ale také příjemnější a pohodlnější – odpadá při něm mechanické počítání s čísly (odborně: numerické algoritmy), které by při řešení jen zdržovalo, nehledě k tomu, že předčasným nasazením kalkulačky riskujeme další možný zdroj chyb, navíc takových, které je mimořádně nesnadné odhalit.

Shrňme si proto ještě jednou výhody obecného řešení:

1.         Je mnohem méně pracné, než kdybychom úlohu řešili od samého začátku numericky. Umožňuje omezit numerické výpočty na minimum a odsunout je na pozdější dobu, takže zbytečně nesnižují přehlednost řešení.

2.         Dává možnost pracovat i s veličinami, jejichž hodnoty neznáme. Obvyklé je, že v zadání úloh najdeme jen hodnoty těch veličin, na nichž závisí výsledek. Při řešení však často potřebujeme pracovat i s veličinami dalšími (pomocnými). Pro fyzika znalého algebry to ovšem nepředstavuje žádný problém, prostě je označí vhodnými symboly.

3.         Vyřešíme-li nějakou úlohu obecně, je vyřešena jednou pro vždy. Je-li zadána znovu, třeba s jinými čísly, jednoduše použijeme obecné řešení, které již máme hotové. Naopak kdybychom ji řešili pouze numericky, byli bychom v takovém případě nuceni opakovat celé řešení od začátku.

4.         Obecné řešení neposkytuje jen nějaký číselný výsledek, ale něco, co je ve fyzice mnohem důležitější: obecný vztah mezi výsledkem a vstupními hodnotami. Ukazuje, jak výsledek na vstupních hodnotách závisí, neboli jak vstupní hodnoty výsledek ovlivňují. To také umožňuje obecné řešení (na rozdíl od pouhého čísla) fyzikálně interpretovat.

Hlavní zásadou přitom je, že nikdy nesměšujeme dohromady řešení obecné a numerické. V žádném fyzikálním vztahu, který napíšeme, se nemají vyskytovat současně symboly veličin a jejich hodnoty. To by vedlo k nepředstavitelnému zmatku: Představme si rovnici, ve které by se vyskytovala hmotnost a délka. Hmotnost bychom označili obecným symbolem m, zatímco délku bychom dosadili numericky, tedy v metrech. Co by v takové rovnici znamenalo písmeno m? Hmotnost nebo metry? V tištěném textu bychom snad ještě mohli oba symboly rozlišit, veličiny je totiž zvykem sázet kurzívou, zatímco jednotky obyčejným písmem (antikvou). Ale co při psaní rukou? Snadno bychom proti sobě mohli "zkrátit" dvě zcela rozdílné věci, čímž bychom úlohu obrátili v naprostý nesmysl. Aby se nám něco podobného nikdy nestalo, zapamatujeme si:

q       Fyzikální úloha se považuje za vyřešenou tehdy, je-li vyřešena obecně, tj. algebraicky.

q       Teprve po obecném vyřešení úlohy přistupujeme k numerickému řešení, tj. k dosazování konkrétních číselných hodnot (samozřejmě i s jednotkami).

Fyzikální "pravopis"

Nebojte se, nebudu vám vysvětlovat, kde se píše i a y. Fyzikálním "pravopisem" rozumím určitá pravidla písemného vyjadřování, která si fyzici vytvořili a jejichž dodržování se považuje za určitý znak kulturnosti, a to už i na střední škole. Jde především o formu zápisu fyzikálních veličin a jejich hodnot.

Jedno už víme: každá hodnota fyzikální veličiny (pokud nejde o veličinu bezrozměrnou) musí být provázena příslušnou jednotkou. Jak se jednotky zapisují, nejspíš víte. Každá má svou značku, stanovenou mezinárodními zvyklostmi a státními normami. Jak máme však zapsat samotnou číselnou hodnotu? Potíž jistě nevznikne při údajích jako "pět kilogramů", "tři metry" nebo "deset sekund"; napíšeme jednoduše 5 kg, 3 m, 10 s. Umíme si poradit i s čísly výrazně většími i menšími, pokud nám na ně vystačí zavedené předpony (tzv. násobné a dílčí jednotky). Tak například vlnovou délku žlutého světla, na kterou je naše oko nejcitlivější (555 miliardtin metru), můžeme zapsat jako 555 nm, místo abychom psali nepohodlně 0,000000555 m. Podobně střední vzdálenost Země od Slunce (149 miliard metrů) bychom mohli zapsat jako 149 Gm, byť se tato násobná jednotka v praxi příliš nepoužívá. Nicméně se v různých oblastech fyziky často setkáváme s hodnotami ještě mnohokrát většími i menšími. Už třeba hmotnost Slunce bychom v kilogramech museli vyjádřit 31místným číslem – s tím už nám žádná známá předpona nepomůže, a i kdybychom si ji zavedli, náš problém to pouze posouvá, ale neřeší. Raději než předpony používáme proto zápis čísel v tzv. smíšeném tvaru. Jeho podstata spočívá v tom, že od sebe odděluje vlastní číselnou hodnotu veličiny a její řádovou velikost. Výše uvedené hodnoty délek v něm zapíšeme jako 5,55·10-7 m, resp. 1,49·1011 m, hmotnost Slunce pak jako 1,99·1030 kg. Smíšený tvar má řadu předností, pro něž je mezi fyziky oblíben a považuje se za standardní formu zápisu malých a velkých čísel:

1.         Umožňuje obejít se zcela bez násobných a dílčích jednotek, tvořených předponami. (Je pravda, že u kilogramu předpona zůstává, ale to je proto, že ho autoři soustavy SI určili za základní a nikoli za násobnou jednotku, jak by se asi slušelo.)

2.         Je velmi úsporný v tom smyslu, že větší číslo nezabere na papíře úměrně více místa. Činí tedy zápis mnohem přehlednějším a pohodlnějším, než by byl při vypisování "dlouhých" čísel.

3.         Přímo zviditelňuje řádovou velikost čísla, bez nutnosti pracně počítat číslice. Tím také usnadňuje při výpočtech řádový odhad výsledku, porovnávání významu různých efektů apod.

4.         Umožňuje zapsat každou číselnou hodnotu se správnou přesností, tedy na správný počet platných číslic.

První dva body jsou, myslím, jasné. Ke třetímu bodu je třeba doplnit následující obecně přijatou zvyklost (čtěte pozorně, často se v tom chybuje): Vlastní číselnou hodnotu veličin zapisujeme vždy tak, aby před desetinnou čárkou byla jedna platná číslice. Matematicky vyjádřeno, má ležet v polouzavřeném intervalu á1; 10). Výše uvedenou hodnotu vlnové délky by teoreticky bylo možno zapsat např. jako 555·10-9 m nebo jako 0,555·10-6 m; zápisy jsou sice matematicky rovnocenné, ale odporují pravidlům "fyzikálního pravopisu". Těm vyhovuje právě jen výše uvedený zápis 5,55·10-7 m. Exponentu desítky se pak říká řád čísla. Naše hodnota vlnové délky je proto číslo řádu –7, nikoli –6 nebo –9.

Co se týče posledního bodu, musíme si přesně vysvětlit klíčový pojem "fyzikálního pravopisu", jímž je platná číslice. I v tom dělají studenti často (a zbytečně) chyby, proto této otázce věnujeme trochu více pozornosti. Vraťme se např. ke střední vzdálenosti Slunce a Země. Její hodnotu jsme zde uvedli s přesností na tři platné číslice: v tomto případě jsou jimi 1, 4 a 9. Tuto přesnost vyjadřuje jak zápis ve smíšeném tvaru, tak i zápis pomocí poněkud netradiční násobné jednotky "gigametr". Pokud bychom však použili zápis 149000000000 m, zapsali jsme sice – z matematického hlediska – stejnou hodnotu, ale s přesností na 12 platných číslic! Avšak těm nulám na konci jistě nebude nikdo věřit, taková přesnost je v našem případě naprosto klamná. Proto, nehledě na zjevnou nepohodlnost, se takovému zápisu zdaleka vyhneme.

Podobná je i situace s malými čísly. Zmíněnou vlnovou délku jsme udali rovněž s přesností na tři platné číslice (tentokrát jsou náhodou všechny 5). Také tuto hodnotu bychom mohli napsat ve tvaru 0,000000555 m. Dokonce bychom tím ani nezvýšili počet platných číslic – ty jsou v tomto případě stále jen tři, zápis je tedy rovnocenný s předchozími jak co do hodnoty, tak co do přesnosti. Ale uznejte sami: kdo má ty nuly počítat?

Co tedy je a co není platná číslice? Pokud vám v tom neudělaly jasno předchozí dva odstavce, řekneme to přímo. Za platnou musíme považovat každou číslici různou od nuly. Nulu naopak považujeme za platnou číslici pouze tehdy, stojí-li uprostřed nebo na konci číselného zápisu. Není tedy jedno, zda napíšeme 1,49 nebo 1,490 či 1,49000. Jde sice vždy o stejnou hodnotu, počet platných číslic (a tím i udaná přesnost) se liší. Naproti tomu nula na začátku číselného zápisu platnou číslicí není. Před číslo můžeme napsat nul kolik chceme, ale na přesnost údaje to nemá vliv. Zápisy 1,49·1011, 0,149·1012 nebo 0,00000149·1017 jsou stejně přesné. Použijeme však pouze první z nich, další dva odporují "pravopisným" pravidlům.

Zbývá říci, jak si správný počet platných číslic stanovíme. Obecně platí zásada, že přesnost výsledku nemůže být větší než přesnost vstupních hodnot. Přesnost totiž nelze žádným výpočtem "vyrobit", v nejlepším případě ji můžeme udržet. Na druhé straně však není ani důvod, proč by měla být menší, tím bychom se zbytečně ochuzovali. Jsou-li tedy vstupní hodnoty úlohy zadány na dvě platné číslice, nemůžeme výsledek napsat na tři nebo dokonce na více, neboť jen za první dvě se můžeme zaručit, všechny další jsou naprosto nespolehlivý výmysl naší kalkulačky. Udat však výsledek jen na jednu platnou číslici by bylo škoda, můžeme-li dosáhnout přesnosti o řád lepší. Do určitých nejistot se můžeme dostat tehdy, jsou-li vstupní data zadána různě přesně; pak je tuto otázku třeba řešit citlivě případ od případu, přičemž se také nemalou měrou uplatňuje zkušenost. Pro začátek neuškodí, přijmete-li zásadu "méně je více".

Příklad: Měli bychom pomocí Newtonova gravitačního zákona určit přitažlivou sílu, kterou na sebe vzájemně působí Slunce a Země. Příslušný vzorec zní:

V něm k = 6,67·10-11 m3kg-1s-2 je gravitační konstanta, mS = 1,99·1030 kg je hmotnost Slunce, mZ = 5,98·1024 kg hmotnost Země a r = 1,49·1011 m střední vzdálenost obou těles. Vlastní zápis výpočtu lze provést dvojím způsobem:

(A) Fyzikálně "nejčistší" je dosadit do vzorce číselné hodnoty zároveň s jednotkami:

.

(B) Druhý způsob předpokládá, že si nejprve rozměrovou zkouškou určíme výslednou jednotku:

.

Poté již můžeme dosadit číselné hodnoty veličin bez jednotek, avšak nesmíme zapomenout zapsat výslednou jednotku na konci číselného výrazu:

.

V obou případech nás výpočet jednotky přesvědčil o tom, že síla vyjde v newtonech, čímž máme zaručenu rozměrovou správnost výsledku. [Poznámka: Zápis pomocí složených závorek (viz výše) se v praxi příliš nepoužívá.]

V dalším kroku plně doceníme výhody smíšeného zápisu čísel: umožní nám totiž bez složitých numerických výpočtů a bez použití kalkulačky odhadnout řád výsledku: – 11 + 30 + 24 – 22 = 21, výsledek se tedy bude pohybovat někde v blízkosti hodnoty 1021 N. Zbývá určit hodnotu zlomku

.

Tady už se vyplatí kalkulátor nasadit. Provedený výpočet dá hodnotu 35,75259403. Nyní si však uvědomíme, že vstupní hodnoty jsou zadány na tři platné číslice, výsledek jich tedy nemůže mít dvanáct! Hodnotu proto zaokrouhlíme na 35,8. S ohledem na výše uvedené pravidlo "jedna cifra před čárkou" ovšem zapíšeme výsledek ve tvaru F = 3,58·1022 N. Vidíme, že výpočet poněkud opravil naši původní řádovou představu o výsledku, ale pouze o jeden řád. To není nic neobvyklého a mohli jsme tomu dokonce snadno předejít, kdybychom si byli např. vyjádřili (tak trochu "nepravopisně") hmotnost Země jako 0,598·1025 kg. Podívejme se však, jak přesnost vstupních hodnot ovlivní výsledek. Zaokrouhlíme-li je pouze na dvě platné číslice, budeme počítat zlomek

jehož výpočet dá hodnotu 35,73333333, po zaokrouhlení na dvě platné číslice hodnotu 36. Výsledek v tomto případě bude proto F = 3,6·1022 N. To, že jednou vyšla hodnota 3,6 a jednou 3,58, není nic tragického, jeden výpočet byl jen o trochu přesnější a oba mohou být považovány v podstatě za správné. Důležité však je, že počet platných číslic neovlivnil řád výsledku – ten je v obou případech 22. Řádová chyba se již považuje za chybu hrubou.

Zapamatujte si:

q       Velká a malá čísla zapisujeme ve smíšeném tvaru, je to lepší než používat předpony.

q       Při výpočtech vždy respektujeme počet platných číslic – u výsledku nemůže být větší (ale nemá být ani zbytečně menší) než u vstupních hodnot.

q       Největší pozornost při numerickém výpočtu věnujeme jednotce a řádu výsledku. Rozměrová nebo řádová chyba se považují za chyby hrubé, drobnou nepřesnost v numerické hodnotě (při jinak správném postupu) lze prominout.

Na závěr ještě jeden "odstrašující" příklad. Student měl určit hodnotu síly ze vztahu F = m·g·cos a, kam měl dosadit hodnoty m = 0,20 kg, g = 10 m·s-2, a = 30°. Z matematiky věděl (a měl zajisté pravdu), že cos 30° = Ö3/2, takže dospěl k "závěru" F = Ö3 N. Jako výsledek výpočtu tedy udal iracionální číslo, jinými slovy spočetl sílu s přesností na nekonečný počet platných číslic. Absurdita tohoto "výsledku" bije do očí – správně měl napsat F = 1,7 N (všechny vstupní veličiny včetně úhlu byly zadány s přesností na 2 platné číslice).

Řešíme fyzikální úlohu

Nečekejte univerzální návod, nějakou "kuchařku", podle které se vždy spolehlivě doberete řešení každého fyzikálního problému, např. úlohy v domácím úkolu nebo ve školní písemné práci. To, co bude následovat, je jen několik obecných pravidel, jejichž dodržování vám ušetří mnoho starostí a vaše řešení učiní přehledným a snadno čitelným. Zvyknete-li si na ně, řešení fyzikálních úloh pro vás přestane být zběsilou improvizací, v níž se sami nejste schopni pořádně vyznat, a pro opravujícího učitele nebude obtížným rébusem, v němž by se musel usilovně snažit rozeznat střípky vašeho myšlenkového pochodu. Věřte, že je to postup prověřený praxí a jako nejlepší ze všech možných přijatý celým civilizovaným světem.

1.         Po důkladném seznámení se s textem zadání úlohy provádíme rozbor fyzikální situace, které se úloha týká. Ani v jednoduchých případech neváhejte kreslit náčrtek, v němž vyznačíte jak zadané veličiny, tak i veličiny, které mají být určeny, případně i jiné veličiny pomocné. Do náčrtku však nevpisujte konkrétní číselné hodnoty, pouze obecné symboly veličin. Číselné zadání uveďte zvlášť, např. pod obrázkem.

2.         Vypište si vhodně zvolené výchozí vztahy mezi veličinami, vystupujícími v úloze. Nemusí vždy jít o vztahy čistě fyzikální, velmi často se uplatňují též vztahy geometrické. Tato "vhodná volba" se ovšem může odvíjet jen a jen od vaší znalosti dané fyzikální problematiky, případně ještě geometrie. Tento bod je vlastně klíčovým pro řešení celé úlohy, zbytek je matematická rutina.

3.         Pomocí známých matematických metod (algebra, trigonometrie apod.) z těchto výchozích vztahů odvoďte obecné řešení. Tím rozumíme matematický vztah, v němž na levé straně vystupuje hledaná veličina a na straně pravé pouze veličiny, jejichž hodnoty jsou uvedeny v zadání. V obecném řešení ovšem vystupují obecné symboly (písmena), nikoli číselné hodnoty.

4.         Do obecného řešení dosaďte zadané hodnoty, samozřejmě i s jednotkami. To je tzv. numerické řešení. Jeho úpravami (výpočty, krácením apod.) dospějete ke konečnému výsledku. Jako první si vždy určete výslednou jednotku (fyzikální rozměr). Pak odhadněte řád výsledku a teprve nakonec určete jeho číselnou hodnotu, to vše při zachování pravidel "fyzikálního pravopisu".

Doporučuji vám vždy si dobře rozmyslet, kolik času a prostoru věnujete těmto čtyřem fázím práce na úloze. První dvě jsou vlastně fáze přípravné, úlohu si v nich analyzujete. Těžiště řešení se ukrývá ve třetím kroku, představujícím syntetickou část. Obvykle také zabere nejvíce místa a trvá nejdéle. Pokud ho ovšem úspěšně zvládnete, je poslední krok už jen "rozinkou na dortu", snadným mechanickým výpočtem, pro nějž existuje standardní postup a není již třeba o něm nijak hluboce přemýšlet.

Ještě si zapamatujte:

q       Vztahy nevypisujeme bezmyšlenkovitě tak, jak je máme naučené z teorie, nýbrž tak, aby svou formou odpovídaly konkrétnímu označení veličin v naší úloze (říkáme, že je aplikujeme na konkrétní fyzikální situaci).

q       Označení veličin volíme co nejlogičtější a co nejúspornější. Čím méně neznámých si zavedete, tím méně rovnic budete muset psát a řešit.

q       Každý symbol, který používáte, musí vždy něco konkrétního znamenat! Použijete-li symbol, který se v zadání úlohy nevyskytuje a není všeobecně znám, je třeba jeho význam vysvětlit.

q       Význam každého symbolu musí být jednoznačný. To znamená, že v rámci jedné úlohy zásadně nesmíte označit dvě různé věci stejným symbolem!!! Tato jednoznačnost má však platit i opačně: je zcela nerozumné označovat jednu věc více různými symboly. Dodržujeme tedy zásadu: jedna věc – jeden symbol.

q       Svá řešení byste měli alespoň stručně komentovat, tj. nepsat jen holé vztahy, výpočty a výsledky, ale také slovně vysvětlit, co znamenají a jak jste k nim dospěli. Mějte na paměti, že to po vás bude někdo číst!

Jako příklad uvedeného postupu vyřešíme naši "modelovou" úlohu o pádu cihly (pokud jste příslušný článek přeskočili, teď je vhodná chvíle se k němu vrátit).

1. krok: Nakreslíme si obrázek, ale bez zbytečných detailů a s ohledem na přijatý model (např. cihlu nebudeme kreslit jako cihlu, nýbrž naznačíme, že jsme ji nahradili hmotným bodem). Vedle vypíšeme hodnoty vstupních veličin (zde jsou jen dvě – výška pádu a tíhové zrychlení):

h = 20 m, g = 10 m·s-2, t = ?, v = ?

2. krok: Napíšeme si vztahy mezi veličinami, které v našem rozboru vystupují (zde vztahy pro volný pád, jak je známe z kinematiky):

h = ½ gt2,

v = gt.

3. krok: Ze vztahů vyjádříme neznámé veličiny:

,

.

4. krok: Do nalezeného řešení dosadíme zadané hodnoty:

,

.

V detailech jsme mohli postupovat také jinak – z nalezeného vztahu pro dobu pádu určit hned numerickou hodnotu ("mezivýsledek") t = 2 s a tu pak dosadit do vztahu pro rychlost:

v = g·t = 10 m·s-2 · 2 s = 20 m·s-1.

Vždy však je třeba nejprve mít do čeho dosazovat, tedy obecný vztah pro hledanou hodnotu.


Trochu matematiky

Když ukazuji, dívejte se, kam ukazuji, ne na můj prst!
(Warren McCullogh, americký neurofyziolog)

V předchozí kapitole jsme si vyjasnili, že bez dobré znalosti matematiky se nelze ve fyzice dobře orientovat. Matematika poskytuje fyzikovi nástroje, bez nichž by své problémy nemohl účinně řešit. O jednom z těchto nástrojů – o algebře – jsme se již zmínili v souvislosti s obecným řešením fyzikálních úloh. Její základy už znáte ze základní školy, středoškolská matematika vám je bude postupně rozšiřovat. Jiným nástrojem je trigonometrie – řešení geometrických vztahů za použití goniometrických funkcí. I o ní byste už měli něco vědět a nové poznatky časem přibudou. V této kapitole se proto zaměříme na další z nich, takové, se kterými se v předmětu matematika setkáte později, než byste potřebovali s ohledem na fyziku, případně se s nimi nesetkáte vůbec (nebo alespoň ne v takové podobě, abyste je mohli ve fyzice účinně využívat).

Tuto kapitolu nemusíte zvládnout na první přečtení hned celou. Vybírejte si z ní vždy to, co se bude týkat právě probírané látky ve fyzice. Pasáže, kterým nebudete rozumět, klidně odložte na později.

O skalárech a vektorech

Srovnejme větu „V autě je teplota 25 °C“ s větou „Auto jede rychlostí 25 m/s“. Obě dvě jsou fyzikálně smysluplné výpovědi o témže tělese, obě udávají hodnotu určité veličiny včetně jednotky, číselná hodnota je dokonce v obou případech stejná. Je však stejná také jejich hodnota informační? Slyšíme-li první z obou vět, máme dokonalou představu o teplotě panující v autě; bez jakýchkoli dalších údajů jsme schopni říci, jak se v něm asi budeme cítit. Ze druhé věty se sice dovíme, jak rychle auto jede, ale vůbec nic o tom, kam nás veze! O pohybu auta tedy ještě nevíme všechno. Osoba nezasvěcená do situace by na informaci o rychlosti nejspíš reagovala otázkou: „Dobře, ale kam?“, kdežto ve vztahu k teplotě by asi soudný člověk podobnou otázku nepoložil. Takže – není veličina jako veličina, alespoň co se týče matematických prostředků, jimiž je popisujeme.

Skalár ve fyzice není akvarijní rybička, ale určitý typ fyzikální veličiny – ten nejjednodušší. Samo slovo skalár pochází z latinského scala, což znamená původně schodiště, v přeneseném smyslu stupnici (srov. i české "škála"). Hodnota skalární veličiny je tedy údaj na nějaké stupnici, prostě číslo. Jinými slovy: známe-li číselnou hodnotu a jednotku, víme už o skalární veličině všechno. Skalár nemá žádnou směrovou charakteristiku, což také znamená, že není podmíněn konkrétní volbou prostorových souřadnic (o nich více řekneme v samostatném článku). Typickým skalárem je teplota: představuje prostý údaj na nějaké teploměrné stupnici a nevykazuje žádnou prostorovou orientaci. Z mechaniky můžeme jmenovat třeba hmotnost, objem nebo hustotu. Skalární veličinou je rovněž energie, a to i (možná trochu překvapivě) energie pohybová, přestože pohyb sám o sobě vždy nějaký směr má; směrový charakter pohybu však popisují veličiny jiné. Klasická fyzika pojímá jako skalár také čas (odlišný je pohled teorie relativity, kde čas tvoří součást tzv. čtyřvektoru). Poněkud komplikovanější je situace u délky, resp. vzdálenosti. Řeknu-li např., že provaz je dlouhý 10 metrů, může být přitom třeba svinut do klubíčka a samotný údaj o jeho délce neříká nic o tom, jakým směrem bude třeba v budoucnu natažen. Mohu tedy v tomto případě považovat délku za skalární veličinu. Naproti tomu výpověď „Brno je od Prahy vzdáleno 200 km“ je v jistém smyslu neúplná: člověk neznalý místopisu České republiky by podle ní Brno nenašel, protože by nevěděl, kterým směrem se má z Prahy vydat. Chceme-li tedy udat polohu jednoho místa nebo tělesa vůči druhému, se skalárním pojetím délky nevystačíme.

Vektor je naopak veličina, jejíž typickou vlastností je směrovost má kromě velikosti také nějaký směr v prostoru. Latinské slovo vector označovalo původně jízdního posla, tedy člověka jedoucího na koni a směřujícího tudíž odněkud někam. Ve fyzice je poprvé použil holandský přírodovědec Simon Stevin (17. století) k vysvětlení rozkladu tíhové síly na nakloněné rovině. Správně pochopil, že síla je veličina, která se vždy vyznačuje určitým směrem, v němž působí; je tudíž typickým vektorem. Směrový (vektorový) charakter mají proto v první řadě veličiny popisující silová pole (gravitační, elektrické i magnetické). Dále pak veličiny charakterizující pohyb, jako rychlost, hybnost nebo zrychlení. Pomocí vektorů udáváme též (jak plyne z předchozího) polohu těles v prostoru.

Vektorově ve fyzice popisujeme také různé plochy. Na první pohled bychom plošný obsah zařadili mezi skaláry, ale uvědomme si, že každá plocha je v prostoru nějak umístěna! Omezíme-li se pro začátek na plochy rovinné (nezakřivené), můžeme polohu každé z nich jednoznačně určit jejím tzv. normálovým vektorem, tj. vektorem k dané ploše kolmým, jehož velikost je číselně rovna velikosti plochy (jednotkou je m2). Tento vektor je určen jednoznačně až na orientaci, tu musíme vždy zvolit.

Za příklad použití plochy jako vektoru může sloužit Pascalův zákon: napíšeme-li vztah pro tlakovou sílu ve tvaru

,

máme na pravé straně součin skalární veličiny (tlaku) a vektoru normály k uvažované ploše. To je matematickým vyjádřením skutečnosti, že tlaková síla v kapalině nebo plynu působí vždy směrem kolmým k ploše, která je jí vystavena. (Vektorové veličiny značíme šipkou nad symbolem.)

Vektory jako takové lze definovat čistě matematicky, bez ohledu na jejich konkrétní fyzikální význam. Pro matematika je vektor prostě geometrický objekt, mající kromě číselné velikosti ještě další charakteristiku – směr (prostorovou orientaci). Fyzik jej pak chápe jako vhodnou matematickou formu popisu některých fyzikálních veličin. Jako s čistě matematickými objekty nás s nimi také matematika (geometrie a vektorová algebra) učí pracovat: definuje matematické operace, které lze s vektory provádět, konkrétně určuje, jak vektory sčítat a násobit. Tato obecná a neměnná matematická pravidla pak aplikujeme všude tam, kde se ve fyzice setkáme s vektorovými veličinami. Student, který jim porozumí a zvykne si je používat, má tu obrovskou výhodu, že se je nemusí učit v každé partii fyziky vždy znovu a znovu.

O sčítání vektorů zde nebudeme mluvit příliš podrobně, protože jste se s ním nejspíš v nějaké formě setkali a víte, že je provádíme pomocí vektorového rovnoběžníku (obrázek najdete v každé učebnici mechaniky). Připomeňme si jen, že sčítat vektory obecně neznamená sčítat jejich velikosti. Tak je tomu pouze v případě, že oba vektory jsou rovnoběžné a souhlasně orientované. Jsou-li orientované opačně, znamená součet vektorů ve skutečnosti rozdíl jejich velikostí! V obecném případě (svírají-li spolu nějaký úhel), musíme velikost součtu určovat geometricky (Pythagorovou nebo kosinovou větou). Vektorový součet je tedy něco jiného než součet čísel (skalárů). Napíšeme-li např. a + b = c, znamená to, že číslo c je prostým součtem čísel a, b. Známe-li jejich hodnoty, určíme i hodnotu výsledku. Říkáme, že jsme napsali skalární rovnici. Naproti tomu zápis  je rovnice vektorová. I když známe velikosti obou sčítanců, o velikosti součtu nevíme prakticky nic, neznáme-li úhel, který oba vektory svírají. Předchozí skalární rovnice v tomto případě vůbec nemusí platit (symbolem bez šipky rozumíme obvykle velikost vektoru). To jinými slovy znamená, že vektorové rovnice nejsou bezprostředně určeny k numerickým výpočtům; než k nim přikročíme, obvykle je převádíme do skalárního tvaru. Jednoduchý příklad: skládáme-li rychlosti dvou navzájem kolmých pohybů, pak ve vektorovém smyslu je , ale pro účely numerického výpočtu napíšeme pomocí Pythagorovy věty tuto rovnici skalárně: . Směr výsledného vektoru rychlosti určíme geometricky – pomocí vektorového rovnoběžníku.

Víme už tedy, co znamená vektory sčítat. S odčítáním potíž nebude – odečíst vektor neznamená nic jiného než přičíst vektor opačný, tzn. vektor stejné velikosti a opačného směru. Problém nepředstavuje ani násobení vektoru skalárem – směr vektoru zůstane týž, změní se jen velikost a ovšem jednotka, není-li skalár bezrozměrný (příkladem je hybnost). Co však dosud neumíme, je násobit vektory mezi sebou. Takovou operaci potřebujeme velmi často, a proto ji matematici fyzikům také vymysleli. Ba co víc, známe dokonce dva různé typy násobení vektorů, totiž součin skalární a součin vektorový.

O skalárním součinu

Když se řekne skalární součin vektorů, asi nás význam částečně napadne: násobíme dva vektory, ale výsledkem je skalár. Tak tomu skutečně je. Matematická definice skalárního součinu zní:

,

kde a je úhel, který oba vektory svírají. Na levé straně vidíme, jak se skalární součin značí: výraznou tečkou mezi symboly obou činitelů. Jak se vypočte, ukazuje strana pravá: součin velikostí obou vektorů se ještě vynásobí kosinem jimi sevřeného úhlu. To například znamená, že jsou-li vektory navzájem kolmé, je jejich skalární součin roven nule, i když žádný z nich nule roven není (věc u násobení čísel nevídaná). Geometrická interpretace naší definice je taková, že velikost jednoho vektoru násobíme velikostí průmětu druhého vektoru na vektor první. Jinak řečeno: rozložíme-li si jeden z vektorů na složku rovnoběžnou s druhým vektorem a na složku k němu kolmou, pak do skalárního součinu vstupuje pouze složka rovnoběžná, zatímco kolmou složku ponecháváme zcela stranou.

Na obrázku jsme rozložili vektor b, takže můžeme napsat: . Povšimněte si však, že kdybychom role obou činitelů vyměnili, výsledek by byl stejný. Říkáme, že skalární násobení je operace komutativní, podobně jako násobení čísel (nezáleží na pořadí činitelů).

K čemu je to dobré? Skalární součin má řadu fyzikálních aplikací. Začněme mechanikou. Počítáme-li práci, kterou vykoná síla působící na těleso tím, že je přemístí z jednoho místa na druhé, musíme vzít v úvahu skutečnost, že tuto práci koná pouze ta složka síly, která je rovnoběžná se směrem pohybu. Kolmá složka může dejme tomu snížit tření, ale přímo se na práci nepodílí. Práce je tudíž rovna skalárnímu součinu působící síly a posunutí tělesa:

.

Typickým uplatněním skalárního součinu ve fyzice je výpočet toků různých vektorů plochami. Jak jsme si řekli v předchozím článku, každá (rovinná) plocha S je charakterizována stejnojmenným normálovým vektorem, určujícím její velikost i prostorovou orientaci. Jestliže pak takovou plochu umístíme do nějakého vektorového pole (pro začátek homogenního), definujeme tok vektoru uvažovaného pole danou plochou jako jejich skalární součin. Některé příklady:

·       V proudící kapalině (nebo plynu) definujeme objemový tok:  (tok vektoru rychlosti).

·       V magnetickém poli definujeme magnetický indukční tok:

·       Podobně v elektrickém poli zavádíme tok elektrické intenzity: .

·       Elektrický proud lze chápat jako tok vektoru proudové hustoty plochou průřezu vodiče: .

·       V teorii elektromagnetického vlnění je zářivý tok vlastně tokem tzv. Poyntingova vektoru.

Předposlední příklad vysvětluje, proč elektrický proud považujeme za skalární veličinu, i když mluvíme o směru proudu v obvodu. Vektorem je proudová hustota, zatímco celkový proud procházející danou plochou je jakožto její tok skalárem. "Směr" proudu také není směrem ve vektorovém smyslu slova (libovolný směr v prostoru), ale jen jedna ze dvou možných orientací.

Smyslem takovéto definice toku je to, že bere v úvahu nejen velikost uvažovaného vektoru a dané plochy, ale také jejich vzájemnou polohu. Kosinus v definici zaručuje projekci plochy do roviny kolmé k vektorům pole. Největší je tok tehdy, je-li plocha k vektorům pole kolmá, takže jich skrz ni "nejvíce prochází" (to je třeba chápat obrazně, neboť přísně vzato je jich nekonečné množství). V tom případě je vektor normály s vektory pole rovnoběžný a skalární součin je největší. Naopak v případě, že plochou "neprocházejí" žádné vektory pole, tj. plocha je s nimi rovnoběžná, její normála je k nim kolmá a tok je nulový. Lze to říci také jinak: výhodou skalárního součinu je, že umožňuje definovat tok jakkoliv nastavenou plochou, tj. definice není omezena jen na plochy kolmé ke směru uvažovaného vektorového pole.

[Technická poznámka: Symboly vektorů v obrázcích a v textu jsou z technických důvodů bez šipek (nahrazuji to tučnou kurzívou). Laskavý čtenář si je tam jistě rád domyslí, případně dokreslí.]

O vektorovém součinu

Jak už název naznačuje, výsledkem násobení dvou vektorů bude tentokrát další vektor. Musíme proto popsat jak jeho velikost, tak i směr a orientaci. Abychom odlišili vektorový součin od skalárního, značíme ho starším symbolem pro násobení "´".

Velikost vektorového součinu je definována takto:

.

Vyjádřeno slovy: velikost vektorového součinu je rovna součinu velikostí obou vektorů, vynásobenému sinem úhlu, který svírají. S použitím složek bychom mohli napsat: . Na rozdíl od skalárního součinu zde tedy násobíme velikost jednoho z vektorů kolmou složkou druhého z nich. Geometricky to znamená, že velikost vektorového součinu vyjadřuje obsah rovnoběžníka, který oba vektory vytvářejí. Z toho také vidíme, že ve vztahu k úhlu mezi vektory se chová opačně než součin skalární: největší hodnotu má, jsou-li navzájem kolmé, zatímco vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Rovnoběžník je ovšem útvar plošný a vzpomeňme si, co bylo řečeno o plochách: jejich poloha v prostoru je určena normálovým vektorem, tedy vektorem kolmým k rovině, v níž daná plocha leží. Nejinak je tomu i zde: oba vektory (nejsou-li rovnoběžné) vytvářejí rovinu a jejich vektorový součin udává nejen obsah rovnoběžníka, ale svým směrem i prostorovou polohu této roviny jakožto její normálový vektor. Jinak řečeno, vektorový součin je k oběma činitelům kolmý (viz obrázek).

V rámci takto určeného směru jsou však ještě možné dvě navzájem opačné orientace. Tu správnou určujeme tzv. pravidlem pravé ruky: Představme si, že přímku, v níž bude výsledný vektor ležet, jakoby "uchopíme" do pravé ruky tak, aby prsty ukazovaly pořadí, v němž vektory násobíme. Palec pak ukazuje orientaci (kladný směr) vektorového součinu. [V našem případě: prsty směřují od vektoru a k vektoru b, palec ukazuje nahoru.]

Toto pravidlo má důležitý důsledek: jestliže pořadí činitelů obrátíme, vektorový součin změní svou orientaci v opačnou! Platí tedy:

.

Říkáme, že vektorový součin (na rozdíl od součinu skalárního i běžného násobení čísel) je operací antikomutativní. To je vlastnost trochu neobvyklá a musíme si na ni zvyknout. V dalším uvidíme, že nebyla vymyšlena samoúčelně, ale skrývá v sobě hluboký fyzikální i geometrický smysl.

Ukážeme to na nejznámějším příkladu použití vektorového součinu v mechanice, totiž na momentu síly. Představme si těleso upevněné na ose, kolem níž se může otáčet. Jestliže na ně v nějakém místě, charakterizovaném polohovým vektorem (průvodičem) r, zapůsobí nějaká síla F, pak její otáčivý účinek (moment) závisí jednak na vzdálenosti působiště od osy, jednak na tečné (tangenciální) složce síly, tedy složce F^ kolmé k průvodiči (pro jednoduchost zatím předpokládáme, že vektor síly leží v rovině kolmé k ose). Složka s průvodičem rovnoběžná (radiální) F|| naopak nemá na otáčivý pohyb tělesa žádný vliv (v reálné situaci může ovšem např. vylomit osu z čepů). Pro velikost momentu síly tudíž platí: M = r·F^ = r·F·sin a, kde a je úhel, který síla svírá se směrem průvodiče. To odpovídá velikosti vektorového součinu, jehož směr musí být tudíž kolmý k rovině obou vektorů, tedy k rovině rotace (obvykle jej kreslíme přímo do osy).

Jak je to však se směrem (přesněji: smyslem) otáčení? Na našem obrázku síla roztočí těleso po směru hodinových ručiček – matematik by řekl: v záporném smyslu. Naznačíme-li tuto rotaci prsty pravé ruky, palec bude ukazovat směrem od nás. A stejně definujeme i orientaci vektoru momentu síly. Napíšeme-li

,

vidíme, že tento směr odpovídá definici vektorového součinu. Je tu však jedna drobná obtíž – na obrázku nemají vektory r a F společný počátek. Než uplatníme pravidlo pravé ruky, musíme si v duchu vektor síly posunout tak, jako by působiště leželo přímo na ose. Tím docílíme toho, že prsty pravé ruky, směřující od vektoru r k vektoru F, budou vždy ukazovat smysl otáčivého účinku síly. Kdybychom ovšem pořadí činitelů zaměnili, vektorový součin by směřoval k nám a prsty by ukazovaly nesprávný směr rotace. Takže ještě jednou: při vektorovém násobení velmi záleží na pořadí činitelů!

Předchozí příklad dává tušit, že s vektorovým součinem se setkáme všude tam, kde máme co dělat s rotacemi, nebo alespoň s rotační symetrií. Vezměme nejjednodušší situaci – rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici. Ten je charakterizován vektorem w, jehož velikost udává úhlovou rychlost pohybu a jehož směr určuje osu otáčení. Je-li r průvodič bodu vůči zvolenému počátku na ose (nemusí to nutně být přímo střed kruhové dráhy), je obvodová rychlost

(tj. leží v rotační rovině a je kolmá k průvodiči) a dostředivé zrychlení

leží v téže rovině a je kolmé k vektoru obvodové rychlosti. Není třeba zdůrazňovat, že orientace obou vektorů je dána pravidlem pravé ruky. Jeho důsledkem (vlastně jen jinou formulací) je tzv. rotační pravidlo: ukážeme-li palcem pravé ruky směr vektoruw, prsty naznačují směr otáčení. Říká se mu též pravidlo vývrtky: ukážeme-li směr vektoru w vývrtkou na korkové zátky, pak smysl rotace odpovídá jejímu pohybu při vrtání. Nesmí to ovšem být vývrtka pro leváky.

Nepřekvapí ani, že vektorový součin hraje důležitou roli při studiu magnetického pole. To totiž vzniká okolo vodičů s elektrickým proudem, a je přirozené, že ve stejné vzdálenosti od vodiče (pro jednoduchost se omezíme na vodič přímý) musí být magnetické pole stejné – situace má tzv. rotační symetrii. Pole má tangenciální (tečný) charakter; konkrétně, každý malý přímý úsek vodiče Dl (orientaci volíme podle směru proudu) se podílí na celkovém vektoru magnetické indukce B příspěvkem

(zákon Biotův-Savartův; I je proud ve vodiči, m permeabilita prostředí). Vidíme, že i zde platí rotační pravidlo: ukážeme-li palcem pravé ruky směr proudu, prsty naznačují směr vektoru magnetické indukce, tedy orientaci indukčních čar.

Shrnutí:

q       Skaláry sčítáme a odčítáme algebraicky (jako čísla), vektory geometricky (jako orientované úsečky – pomocí rovnoběžníků; velikost výsledku určujeme trigonometrickými metodami).

q       Vektory lze mezi sebou násobit buď skalárně nebo vektorově. Typ součinu vyjadřuje charakter výsledku.

q       Při skalárním násobení promítáme jeden z vektorů do směru rovnoběžného s druhým vektorem, při vektorovém násobení do směru kolmého.

q       Vektorový součin je vektorem plochy rovnoběžníka, vytvořeného oběma vektory: velikostí vyjadřuje její obsah, směrem její normálu, orientací pořadí činitelů.

q       Typickým použitím skalárního součinu jsou toky vektorových polí plochami, uplatnění vektorového součinu je typické pro rotace a vše, co je připomíná.

Strašidlo na obzoru: tenzory

Na střední škole se s nimi nejspíš nesetkáte, takže tento článek je určen jen vážnějším zájemcům, zejména pak těm, kdo půjdou studovat buď přímo fyziku nebo některý technický obor. Ostatní ho mohou s klidným svědomím přeskočit.

Název tenzor souvisí se slovem tenze, což je z latiny pocházející výraz pro nějaké napětí či pnutí. To samo naznačuje, pro jaký typ fyzikálních veličin byly tenzory "vynalezeny": byly to veličiny používané ve fyzice pevných látek, konkrétně v teorii pružnosti. Časem ovšem tenzory nalezly ve fyzice uplatnění mnohem širší.

Začněme však od těch tenzí či napětí. V kapalinách a v plynech je takovým mechanickým "napětím" tlak (nezaměňovat s povrchovým napětím kapalin nebo s napětím elektrickým). Výše uvedená vektorová rovnice vyjadřující Pascalův zákon vlastně znamená pouze to, že napětí v kapalině či plynu je vždy normálové, tedy že výsledná tlaková síla působí vždy ve směru kolmém k nastavené ploše. V pevných látkách je situace složitější – v důsledku různých smykových deformací (torze apod.) se kromě normálových napětí mohou objevit i napětí tečná. Směr výsledné síly pak už může být jiný. Vyjádříme to rovnicí

,

představující vlastně zobecněný Pascalův zákon. Veličina s (s obousměrnou šipkou nahoře) je tenzor napětí. Na rozdíl od skalárního tlaku, jehož je zobecněním (měří se rovněž v pascalech), má tu vlastnost, že vynásobením může změnit směr původního vektoru S – síla již nemusí mít směr normály k uvažované ploše.

Tenzorem v mechanice je třeba také moment setrvačnosti. Vůči jedné konkrétní ose otáčení je, pravda, vyjádřen jedním číslem (tedy "skalárem"). Ve speciálních případech, např. při rotaci válce kolem jeho geometrické osy, nám tento popis stačí: mezi momentem hybnosti L (veličina popisující dynamiku rotačního pohybu) a úhlovou rychlostí w (kinematika) platí jednoduchý vztah

obdobný vztahu mezi hybností a rychlostí u posuvného pohybu. Oba vektory v tomto případě leží v jedné přímce – ose otáčení. Avšak různých os je možné tělesem vést nekonečné množství! Tenzorový popis umožňuje najít hodnotu momentu setrvačnosti vůči libovolné ose, kolem níž může dané těleso rotovat. Předchozí vztah lze pak psát v obecnější formě

,

která říká, že vektor momentu hybnosti nemusí vždy ležet v ose otáčení určené vektorem w. (Každý dělník, který pracuje u točivých strojů, vám řekne, co to znamená, když osa "hází".)

Tenzor je tedy, stručně řečeno, matematický objekt, popisující veličiny ještě složitější, než jsou vektory. Vynásobíme-li vektor tenzorem, může se tím (na rozdíl od násobení skalárem) změnit nejen jeho velikost, ale i směr.

Tenzory se dále uplatňují při popisu elektromagnetického pole, v optice, a zejména v obecné teorii relativity. To však rozhodně nespadá do učební látky gymnázia, takže se tím nemusíte trápit. I dva předchozí příklady měly posloužit jen jako ilustrace. Závěrem jen uveďme, že tenzory v obecném smyslu slova zahrnují všechny typy veličin, tedy i skaláry a vektory. To souvisí s pojmem řád tenzoru. Skaláry považujeme za tenzory 0. řádu, vektory za tenzory 1. řádu; výše zmíněné tenzorové veličiny (napětí a moment setrvačnosti) jsou 2. řádu a existují i tenzory řádů vyšších. Ale to si opravdu raději nechte až na vysokou školu.

O souřadnicích

Poštovní doručovatel nás vyhledává podle adresy. Omezíme-li se v tomto jednoduchém příměru na jedno město, pak v naší adrese jsou rozhodující dva údaje: jméno ulice a na ní pak číslo domu. To jsou "souřadnice" našeho domu v rámci města. Dvě jsou proto, že město je v zásadě útvar plošný čili dvojrozměrný (můžeme si jich vymyslet i více, ale se dvěma vystačíme). Třetí souřadnicí by mohlo být číslo bytu v domě, nebo alespoň patro, v němž se byt nachází (výška je třetím rozměrem). Souřadnice jsou tedy údaje, charakterizující polohu nějakého bodu (či tělesa) v prostoru. Potřebný počet souřadnic je dimenzí (rozměrem) uvažovaného prostoru (čára je prostorem o jedné dimenzi, plocha má dvě, náš prostor, v němž žijeme, zná dimenze tři).

Typ souřadnic, který jsme popsali v našem příměru k městu, je však značně nestandardní a pro fyziku zcela nepoužitelný. Opět jí pomáhá matematika, konkrétně analytická geometrie. Pravděpodobně znáte nejjednodušší typ souřadnic v rovině (2 dimenze) – dvojici navzájem kolmých přímek, tzv. souřadnicových os. Říká se jim souřadnice kartézské, podle René Descartesa [čti dékárta], latinsky Cartesia, který je v 17. století zavedl. Řada fyzikálních problémů má rovinný charakter, takže se dvěma osami často vystačíme. Přidáme-li třetí kolmou osu, máme kartézskou souřadnicovou soustavu pro trojrozměrný prostor. Osy obvykle označujeme písmeny x, y, z, takže každý bod v prostoru (ale také každý vektor) má svou x-ovou, y-ovou a z-ovou souřadnici. Průsečík všech tří os nazýváme počátek souřadnic – všechny tři tam mají nulovou hodnotu.

Na obrázku vidíme vektor r, který ukazuje polohu nějakého bodu v prostoru (jeho souřadnice jsou totožné se souřadnicemi bodu). Nazýváme ho proto polohový vektor, někdy též průvodič bodu. Pro praktické počítání ho (stejně jako jiné vektory) rozkládáme do složek rovnoběžných se souřadnicovými osami. K tomu účelu je vhodné zavést bezrozměrné tzv. jednotkové vektory (tj. jejichž délka je rovna jedné) i, j, k ve směru jednotlivých os, jejichž pomocí můžeme psát:

.

Říkáme, že vektor r je vyjádřen v algebraickém tvaru. Co se týče orientace os, je obecně přijatou zvyklostí, že soustavu volíme pravotočivou, což znamená (vzpomeňte si na pravidlo pravé ruky):

.

[Cvičení: Vyjádřete dva vektory, a = (axayaz), b = (bxbybz) v algebraickém tvaru a vypočtěte jejich skalární a vektorový součin. Návod: Vše, co o těchto operacích víte, při výpočtu aplikujte na součiny jednotkových vektorů.]

Kartézské souřadnice ovšem nejsou jediné, které ve fyzice používáme – často je vhodnější soustava jiná. V rovině občas zavádíme souřadnice polární: jednou z nich je vzdálenost od počátku, druhou směrový úhel (azimut), měřený od nějaké pevně zvolené polopřímky (obvykle volíme kladný směr kartézské osy x, aby šlo snadno přepočítávat jedny souřadnice na druhé – viz obrázek). Někdy se říká, že kartézská soustava psychologicky vyjadřuje situaci člověka ve městě tvořeném pravoúhlými ulicemi („Běž pět bloků na východ a pak tři bloky na sever!“), zatímco polární souřadnice odpovídají situaci člověka na holé pláni („Běž deset kilometrů na severo-severo-východ!“). Výhody i nevýhody obou soustav poznáte v matematice zejména při studiu komplexních čísel. Ve fyzice často pracujeme s oběma systémy současně – typicky při řešení obvodů střídavého proudu.

[Cvičení: Najděte převodní vztahy polárních souřadnic na kartézské. Poté uvažujte o možnostech obráceného převodu.]

Stejně jako v kartézských souřadnicích i v souřadnicích polárních můžeme rozkládat vektory do souřadnicových směrů. Složku vektoru rovnoběžnou s průvodičem nazýváme radiální (od radius = průvodič, původně "paprsek"), složku k němu kolmou tangenciální (od tangens = tečna, neboť tato složka má směr tečny ke kružnici, jejímž poloměrem je průvodič) – viz obrázek k momentu síly.

[Cvičení: Předpokládejme, že v bodě r = (x; y) je umístěn vektor a = (axay); vypočtěte jeho polární souřadnice ar, aj. Návod: Pro radiální složku použijte skalární, pro tangenciální vektorový součin s průvodičem.]

Přidáme-li k polárním souřadnicím ještě osu kolmou k naší rovině, máme prostorovou soustavu cylindrických (válcových) souřadnic. Jak název ukazuje, užívá se všude tam, kde fyzikální situace vykazuje válcovou, tj. rotační symetrii (typicky v situacích popsaných v článku o vektorovém součinu).

Třetím často používaným typem prostorových souřadnic jsou souřadnice sférické (kulové). Souřadnice používané na zemském povrchu (zeměpisná šířka a délka) jsou příkladem sférických souřadnic. Jen zdánlivě jsou pouze dvě – třetí souřadnici představuje vzdálenost od počátku, v tomto případě od středu Země (zeměpisná šířka je však volena netypicky – ve fyzice obvykle používáme doplňkový úhel, tedy obdobu úhlové vzdálenosti od severního pólu). Používají se v situacích s kulovou symetrií (typicky: gravitační pole planety nebo hvězdy, elektrostatické pole bodového náboje, např. v modelu atomu). Náš obrázek ilustruje všechny uvedené soustavy – kartézskou (x, y, z), cylindrickou (j, r, z), i sférickou (j, J, r).

[Cvičení: Najděte převodní vztahy sférických souřadnic na cylindrické a cylindrických na kartézské; poté napište vztahy pro přímý převod sférických souřadnic na kartézské.]

Pokud jste si se cvičeními neporadili, nevadí. Někdy v budoucnu se k nim vraťte. Pro tuto chvíli stačí, když si zapamatujete:

q       Souřadnice slouží k matematickému popisu prostorových objektů, zejména vektorů (včetně polohového vektoru, tj. i k určení polohy každého bodu). Při výpočtech vektory rozkládáme do složek odpovídajících souřadnicovým směrům.

q       V rovině má každý vektor dvě, v trojrozměrném prostoru tři souřadnice.

q       Nejčastěji používanými souřadnicovými soustavami v rovině jsou kartézská a polární, v prostoru kartézská, cylindrická a sférická.

q       Volba vhodné soustavy souřadnic je často klíčem ke snadnému řešení úlohy.

Doplňme ještě, že s trojrozměrným prostorem vystačíme v klasické fyzice. Čas zde chápeme jako samostatnou veličinu, na prostoru nezávislou. V teorii relativity se ukazuje, že prostor a čas nelze od sebe oddělit – interval, který se jednomu pozorovateli jeví jako časový, může jiný pozorovatel vnímat jako prostorový a naopak. Zavádíme proto čtyřrozměrný prostoročas (nebo časoprostor, jak chcete). Vektory v něm mají čtyři souřadnice, říkáme jim proto čtyřvektory. Tomu musí odpovídat i používané souřadnicové systémy.

Na závěr otázka pro hloubavé: Co myslíte, kolik souřadnic má tenzor 2. řádu? Nápověda: Skalár je vždy popsán jednou hodnotou, neboli n0; počet souřadnic vektoru vždy odpovídá počtu dimenzí, tedy n1; jak to asi bude dál? Pokud tipujete v rovině 4, v prostoru 9 a v prostoročase 16, máte pravdu. Tenzor k-tého řádu má v n-rozměrném prostoru vždy nk souřadnic.

O derivaci a primitivní funkci

Derivací a integrálů se občas studenti obávají jako něčeho mimořádně složitého, snad proto, že bývají někdy – bůhví proč – označovány jako tzv. "vyšší matematika". Paradoxně se jich také bojí většina učitelů fyziky a autorů učebnic, a tak si namísto rutinního používání těchto standardních nástrojů raději vypomáhají mnohomluvnými opisy a uměle vytvořenými náhradami. Přitom jde o věci přirozené a snadno pochopitelné, a zejména látka fyziky 1. ročníku gymnázia (mechanika) je ideální příležitostí k jejich vysvětlení. Koneckonců právě kvůli ní vznikly. K vytvoření tzv. diferenciálního a integrálního počtu totiž přivedla Newtona potřeba detailní analýzy vlastností pohybu.

O co šlo? Klíčovou otázkou bylo chápání pojmu rychlosti. Dlouho existovalo pouze to pojetí, které dnes označujeme jako rychlost průměrnou: prostě dráha vydělená časem. To bylo plně dostačující, dokud byly předmětem úvah jen rovnoměrné pohyby. Jakmile však Galilei při studiu volného pádu zjistil, že tato veličina je v různých úsecích dráhy různá, a tedy že jde o pohyb nerovnoměrný, ukázalo se, že takto chápaná rychlost se pro jeho popis příliš nehodí. Potřeba matematicky popsat nerovnoměrné pohyby ho přiměla uvažovat o rychlosti okamžité, tj. takové, jejíž hodnota by nebyla podmíněna délkou zvoleného časového intervalu, nýbrž by ji bylo možné stanovit jednoznačně pro každý časový okamžik během pohybu. Jak k takové hodnotě dospět? Galilei ji asi ještě chápal intuitivně – představil si, že příslušný časový interval zkrátí na délku tak nepatrnou, že ji vlastně bude možné zanedbat a takto krátký časový úsek pokládat "v podstatě" za okamžik. Exaktněji uvažující Newton se o půl století později s takto chápaným pojmem "okamžité" rychlosti nespokojil a ve snaze domyslet věc do důsledků si položil otázku takřka kacířskou: Je možné zkrátit délku intervalu až na nulu? Nulou, jak je známo z matematiky, dělit nelze, ale…

Newtonův myšlenkový postup si zjednodušeně ukážeme na již známém příkladu rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu (viz výše úloha o volném pádu). Z kinematiky tohoto pohybu již víte, že jeho dráha je dána vztahem s = ½ at2 (pro jednoduchost neuvažujeme o počáteční rychlosti – pro naše úvahy zatím nemá význam). Zvolme si nyní dva po sobě následující časové okamžiky t1 a t2, jim odpovídající dráhy označme s1 a s2. Je tedy

.

Mezi oběma okamžiky uplyne časový interval Dt2 – t1, během nějž naše uvažované těleso urazí dráhu Ds2 – s1. Průměrná rychlost je tudíž rovna

Poslední úpravy jsme dosáhli rozkladem čitatele podle známého vzorce z algebry. Délkou intervalu jsme poté mohli zlomek krátit, takže dělení nulou jsme se elegantně vyhnuli. To však znamená, že nyní již nic nebrání dovést proces zkracování časového intervalu do konce, tedy nechat oba okamžiky splynout v jeden! Napíšeme-li tak místo t1 i t2 prostě t, máme plné právo tvrdit, že takto určená rychlost již nebude rychlostí průměrnou, nýbrž rychlostí okamžitou, příslušnou k času t. Vyjde podle očekávání v = at, dobře známý vztah pro okamžitou rychlost uvažovaného pohybu.

Tím jsme spočítali svou první derivaci, a jak doufám, také pochopili její podstatu. Derivace vyjadřuje, jak praví stará dobrá definice, okamžitou (resp. lokální) míru změny jedné veličiny v závislosti na druhé, v našem případě dráhy na čase. Říkáme, že jsme okamžitou rychlost obdrželi jako derivaci dráhy podle času, neboli časovou derivaci dráhy. Matematický problém, který jsme přitom řešili, by se dal zobecnit asi takto: Jak dělit nulou a přitom nulou nedělit? Řešení zní: Nejprve dělit něčím, co nula není, a nulou to nahradit až poté. To je celé kouzlo diferenciálního počtu, nebo, chcete-li, "vyšší" matematiky (odborně se tomu říká limitní přechod).

[Historická poznámka: Newton asi nejvíce uvažoval právě o časových derivacích. Časově proměnné veličiny – my bychom řekli funkce času – nazýval "fluenty" (česky asi "plynoucí"), jejich časovým derivacím říkal "fluxe", tj. "toky".]

Ve zkoumání našeho příkladu můžeme ještě pokračovat. Všimněme si, že derivace dráhy – okamžitá rychlost – je opět funkcí času, a nic nám tudíž nebrání derivovat ji znovu. Dostaneme:

.

Časovou derivací okamžité rychlosti, a tudíž druhou derivací dráhy, je tedy zrychlení (limitní přechod jsme tentokrát ani nemuseli dělat). Vzhledem k tomu, že pohyb je rovnoměrně zrychlený, vyšla konstanta. Kdybychom chtěli derivovat dál, získáme

,

což vyjadřuje, že při našem pohybu se již zrychlení v čase nemění (existují však i nerovnoměrně zrychlené pohyby; časová derivace zrychlení se nazývá ryv).

Ve fyzice je zvykem značit časovou derivaci tečkou nad příslušným symbolem, druhou derivaci dvěma tečkami atd. Pro rovnoměrně zrychlený pohyb tedy můžeme psát:

,

,

.

Jiná často používaná symbolika, pocházející od Newtonova současníka G. W. Leibnize (1646 – 1716), spočívá v tom, že se velké řecké písmeno D nahradí malým latinským "d", které je zkratkou slova diferenciál (derivaci se také někdy říkalo "diferenciální poměr"). Poslední tři vztahy bychom pak zapsali takto:

,

,

.

Derivace podle jiných veličin než podle času (obvykle podle souřadnic) značíme buď čárkami (např. u', u''…), nebo používáme Leibnizovu symboliku:

a podobně. Čárky ovšem použijeme jen tehdy, je-li z kontextu jasné, podle které veličiny se derivuje.

[Historická poznámka: Newton a Leibniz vymysleli diferenciální počet prakticky současně a nezávisle na sobě. Newton byl motivován potřebami fyziky, Leibniz spíše potřebami geometrie (konstrukce tečen ke křivkám). Přesto se mezi nimi rozhořel vášnivý a jich obou až nedůstojný spor o autorství.]

[Cvičení: Předpokládejme, že se nějaké těleso pohybuje tak, že jeho dráha v čase t je dána vztahem s = bt3/6, kde b je nějaká konstanta. Určete okamžitou rychlost, okamžité zrychlení a jeho časovou derivaci (ryv). Na základě toho se pak pokuste formulovat obecné pravidlo o derivaci mocniny.]

V nadpisu je zmíněna také primitivní funkce. Nejde o nadávku, ani o hodnocení složitosti problému. Je to, stručně řečeno, opak derivace: je-li jedna funkce derivací druhé, pak ta druhá je primitivní funkcí té první. Dalo by se také říci, že je to "minus první derivace" (v tomto smyslu je pak každá funkce svou vlastní "nultou derivací"). Tedy např. rychlost je primitivní funkcí zrychlení a dráha primitivní funkcí rychlosti. Jak uvidíte v dalším studiu, řada fyzikálních problémů (typicky: řešení pohybových rovnic) vede k hledání nějaké primitivní funkce.

Na tomto místě se nebudeme pouštět do konkrétních úloh, pouze si všimneme jedné velmi důležité skutečnosti. Totiž že zatímco derivace je určena jednoznačně (funkce nemůže mít více než jednu derivaci), o primitivní funkci platí pravý opak. Jak je to možné? Vraťme se k výše uvedenému příkladu s rovnoměrně zrychleným pohybem. Řekli jsme, že primitivní funkcí ke zrychlení (v našem případě konstantnímu) je rychlost v = at, neboť její derivací je právě zrychlení a. Také jsme však předeslali, že nebudeme prozatím uvažovat o žádné počáteční rychlosti, jinak řečeno předpokládali jsme, že na počátku pohybu (v čase t = 0) je rychlost rovněž nulová. Při hledání derivace to opravdu nevadilo. Pokud by pohyb měl nějakou počáteční rychlost v0, pak rychlost v čase t by byla rovna v = v0 + at a derivování by dopadlo stejně:

.

Vidíme, že počáteční rychlost derivováním vypadla, čili že hodnota derivace na ní nezávisí. To ovšem znamená, že primitivní funkcí ke zrychlení není jen v = at, ale také v = v0 + at, a to ať už je hodnota v0 jakákoliv! Jinými slovy, k dané funkci existuje ne jedna, ale nekonečné množství primitivních funkcí lišících se navzájem o nějakou konstantu. Tuto konstantu (říká se jí konstanta integrační) nemůžeme určit z původní funkce. V konkrétních úlohách je buď už známá (vyčteme ji ze zadání), nebo se určí z jiných známých veličin. Mluvíme o tzv. počátečních podmínkách úlohy. Pokračujme dále: známe-li počáteční rychlost, pak dráhu určíme opět jako její primitivní funkci. Snadno se přesvědčíte, že touto funkcí je

s = s0 + v0t +½ at2,

tedy že platí . Konstanta s0 je opět integrační konstantou, kterou je třeba určit z počátečních podmínek.

[Cvičení: Na základě výsledku předchozího cvičení se pokuste najít obecné pravidlo o primitivní funkci mocniny.]

Podařilo se? Pokud ne, nevadí. V této chvíli není nutné, abyste se učili prakticky počítat derivace a primitivní funkce, to přijde časem samo. Mnohem důležitější je, abyste chápali jejich význam. Pokud si tyto pojmy osvojíte a zvyknete si je používat, mnohé ve fyzice se vám objeví v jiném světle. Na tomto místě řekněme jen tolik, že derivaci můžete tušit všude tam, kde se v běžných učebnicích zavádí nějaká veličina typu "něco na jednotku něčeho". V našem příkladu je to rychlost (dráha za jednotku času) a zrychlení (změna rychlosti za jednotku času). Místo toho teď můžeme říkat prostě "časová derivace". Podobně můžeme definovat třeba výkon jako časovou derivaci práce, hustotu jako objemovou derivaci hmotnosti, tlak jako plošnou derivaci tlakové síly atd. atd. Výhoda tohoto pojetí proti předchozímu spočívá v tom, že v definici "na jednotku" musíme mlčky předpokládat, že uvažovaná veličina je v rámci dané jednotky konstantní. Např. hustota tělesa, aby taková definice měla rozumný smysl, musí být všude stejná ne-li v celém tělese, tedy alespoň v rámci daného 1 m3. Jinak totiž určíme jen průměrnou hustotu, která o skutečném rozložení hmoty v tělese nemusí říkat vůbec nic. Naopak hustota definovaná pomocí derivace je veličinou lokální, tj. může být třeba i v každém bodě tělesa jiná a naprosto nezávisí na zvolené jednotce objemu. A hlavně: popisuje realitu daleko přesněji, podobně jako okamžitá rychlost vypovídá o pohybu mnohem více než rychlost průměrná.

Shrnuto:

q       Derivace vyjadřuje, jak rychle se mění určitá veličina v závislosti na změně veličiny jiné. Podstatné je, že nejde o trend průměrný (mezi dvěma hodnotami), nýbrž okamžitý, resp. lokální (příslušný k jedné konkrétní hodnotě). Matematika zná způsob, jak jej určit bez nutnosti dělit nulou.

q       Veličiny definované v učebnicích jako podíl typu "něco na jednotku něčeho jiného" jsou obvykle ve skutečnosti derivace.

q       K označení derivací používáme buď symboliku Newtonovu (pro časové derivace tečky, pro ostatní – po dohodě – čárky) nebo Leibnizovu ("poměr diferenciálů").

q       Opakem (přesněji: inverzí) derivace je primitivní funkce. Zatímco derivace je určena jednoznačně, primitivní funkce je jednoznačná až na tzv. integrační konstantu; tu obvykle určujeme z počátečních podmínek úlohy.

Jak správně zanedbávat

O zanedbávání jsme mluvili už v 1. kapitole. Víme, že spočívá ve výběru vhodného modelu, kterým popíšeme určitou fyzikální situaci. Často však zanedbáváme (či spíše zjednodušujeme) i v rámci jednoho konkrétního modelu. Aplikace fyzikálních zákonů, tak jak je známe, totiž někdy i ve "fyzikálně jednoduchém" modelu poskytne tak složité rovnice, že bez potřebných zjednodušení by byly matematicky obtížně zvládnutelné. S trochou nadsázky lze říci, že vlastně zanedbáváme dvakrát: poprvé výběrem vhodného modelu "jako fyzici", podruhé při jeho řešení "jako matematici".

Začněme příkladem, tentokrát z molekulové fyziky. Jistě je vám dobře znám jev teplotní roztažnosti kovů. Představme si železnou tyč, která má při nějaké výchozí teplotě t0 (obvykle se za ni volí 20 °C) nějakou délku l0. Zvýšíme-li teplotu, vlivem rychlejšího pohybu atomů v krystalové mřížce se prodlouží meziatomové vzdálenosti a v důsledku toho i celá tyč. Toto prodloužení je přirozeně přímo úměrné její původní délce (dvakrát delší tyč se také dvakrát více prodlouží) a v rozumném rozmezí také přírůstku teploty, tedy veličině Dt = t – t0:

Dl = l0·a·Dt.

Koeficient a (součinitel teplotní délkové roztažnosti) charakterizuje materiál tyče a pro většinu běžných kovů se najde v tabulkách. Pro železo má hodnotu 1,2·10-5 deg-1; jiné materiály mají hodnotu více či méně odlišnou, ale řádová velikost je u všech kovů víceméně podobná. To znamená, že pokud se rozdíly teplot pohybují řádově v desítkách stupňů, pak veličinaa·Dt (poměrné prodloužení) se pohybuje v řádech 10-4 (desetiny promile), při stovkách stupňů (více nemá smysl, uvážíme-li teplotu tání) v řádech 10-3 (promile). Celková délka tyče pak bude rovna

l = l0 + Dl0·(1 + x).

Už v tom, že jsme teplotní roztažnost kovu popsali lineárním modelem (tj. předpokládali jsme přímou úměrnost mezi nárůstem teploty a prodloužením tyče), je jisté zanedbání, skutečnost může být složitější. Pojďme však ještě dále: co se stane s objemem našeho tělesa? Tyč se roztahuje nejen do délky, ale i do dvou dalších rozměrů! Žijeme v trojrozměrném prostoru, takže ve vyjádření objemu se objeví třetí mocnina (chcete-li, můžete si místo tyče představit krychli o hraně l, jejíž objem je l3):

V = V0·(1 + x)3

a podle známého vzorce z algebry

V = V0·(1 + 3+ 3x2 + x3).

Vyšel mnohočlen 3. stupně, což už je poměrně složitý výraz a asi by se nám s ním dost obtížně pracovalo. Vzpomeňme si však na náš řádový odhad veličiny x a porovnejme velikost (a tím i význam) jednotlivých členů: je-li x » 10-4, je x2 » 10-8, x3 » 10-12 ! Tedy: každý následující člen je zhruba (řádově) desettisíckrát menší než předchozí a tudíž v porovnání s ním naprosto bezvýznamný. Je nyní na naší úvaze, s kolika členy v naší závorce ještě počítat a které zanedbat. Čísla myslím jasně ukazují, že plně postačí uvažovat lineární člen a další dva vypustit; chyba, které se tím dopustíme, je tak nepatrná, že nás nemusí trápit. Pro objemovou roztažnost kovů používáme proto zjednodušený vztah

» V0·(1 + 3x).

Říkáme, že jsme problém linearizovali, neboť objem takto opět závisí jen na první mocnině teploty. Zanedbání, které jsme provedli, už nesouvisí bezprostředně se zvoleným fyzikálním modelem. Bylo to "zanedbání matematikovo", spočívající ve zjednodušení výrazu, s nímž pracujeme. Toto zjednodušení musí být ovšem vždy podloženo kvalifikovaným odhadem chyby, které se dopouštíme (zde: řádovým odhadem a porovnáním členů).

Podstatou linearizace je, že nějakou složitou funkci (křivku) nahrazujeme funkcí lineární (přímkou). Jakou přímku volíme? Geometricky bychom řekli, že jsme sestrojili tečnu ke grafu funkce. Tečna vystihuje ze všech možných přímek nejlépe chování křivky v okolí dotykového bodu. To úzce souvisí s tématem předchozího článku – s derivací. Právě sklon tečny totiž ukazuje trend růstu (případně poklesu) uvažované funkce v dotykovém bodě, tedy její derivaci. Přesně vyjádřeno: derivace je rovna tangentě úhlu, který svírá tečna grafu s osou x. [Vzpomeňte si na Leibnize!]

Na obrázku jsme ke grafu funkce (modrá křivka) vedli tečnu (červená přímka) v bodě x = 0. Vidíme, že v "rozumně malém" okolí tohoto bodu (naznačeno čárkovanými zelenými úsečkami) se obě funkce chovají velmi podobně, takže si tam náhradu křivky přímkou (tj. linearizaci) můžeme dovolit. Musíme si ovšem být vědomi toho, že v čím širším okolí se budeme pohybovat, tím větší chyby se můžeme dopustit.

K linearizaci problému saháme ve fyzice poměrně často. Důvody jsou nasnadě: s lineárními vztahy se snadno pracuje a přitom leckdy popisují realitu s dostatečnou přesností. Pro ilustraci ukážeme ještě několik typických situací, v nichž lze tento nástroj úspěšně uplatnit.

(A) V předchozím příkladu jsme linearizovali mocninnou funkci, konkrétně třetí mocninu; nyní jej zobecníme i pro jiné exponenty. Vzorec, který jsme použili, je speciálním případem tzv. binomické věty, kterou časem proberete v matematice. Pro naše účely ji napíšeme takto:

Je-li hodnota x podstatně menší než 1 (píšeme: |x| << 1), obvykle zanedbáváme všechny členy počínaje kvadratickým, čímž se věta redukuje na přibližný vzorec

.

Z hlediska použití ve fyzice je zajímavé, že binomická věta platí pro každé n, tedy i pro exponenty záporné a necelé, a proto také náš přibližný vzorec lze používat i pro ně. Tedy např.:

pro n = –1:

pro :

pro :

a tak dále.

Příklad: Jistě jste již alespoň slyšeli o slavném Einsteinově vzorci E = m·c2, jímž se v teorii relativity vyjadřuje celková energie tělesa. Ta je tvořena zčásti energií klidovou, E0 = m0·c2, kde m0 je klidová hmotnost, zbytek (Ek = E – E0) je energie pohybová (kinetická). Hmotnost tělesa závisí na jeho rychlosti v podle vzorce

,

kde c je rychlost světla ve vakuu. Při velmi nízkých rychlostech (v << c) můžeme použít náš přibližný vzorec pro n = –1/2; potom

a pro pohybovou energii dostaneme

,

což je známý vzorec z klasické mechaniky.

[Cvičení: Vyjádřete přibližným vztahem, jak se v důsledku teplotní roztažnosti mění hustota. Návod: Vyjděte ze vztahu pro objem a poté použijte přibližný vzorec pro n = –1.]

(B) Jiným, mezi fyziky zvlášť oblíbeným "terčem" linearizace jsou funkce goniometrické, konkrétně funkce sinus. Podobně jako pro mocninnou funkci jsme napsali binomickou větu, pro sinus platí:

[Důležitá poznámka: Úhel x zde musí být vyjádřen v obloukové míře, tedy např. 90° = p/2.] Je-li x "velmi malé" (tj. lze-li bez rizika zanedbat členy s vyššími mocninami; obvykle se za "rozumnou" hranici považuje 5° až 7°), dostaneme přibližný vzorec

sin x » x.

Toto zjednodušení používáme např. při řešení pohybu kyvadla, kde přesnější vyjádření okamžitého zrychlení a = – g·sin j nahrazujeme linearizovaným vztahem a = – g·j, vedoucím k harmonickému kmitavému pohybu (j je okamžitá úhlová výchylka kyvadla, g tíhové zrychlení). Zejména pak nachází uplatnění v geometrické optice, kde místo "správného" zákona lomu n1·sin a = n2·sin b obvykle používáme linearizovaný: n1·a » n2·b (n1, n2 jsou indexy lomu, a úhel dopadu, b úhel lomu).

(C) Linearizovat lze také exponenciální funkci (pokud jste ji v matematice ještě nebrali, klidně tuto pasáž přeskočte). Platí pro ni:

Pro velmi malá x (tj. |x| << 1) opět stačí uvažovat jen první dva členy, tj.

exp x » 1 + x.

Příklad použití: Když se v 19. století Rayleigh a Jeans pokoušeli teoreticky odvodit energetické spektrum tepelného záření, dospěli klasickými termodynamickými úvahami ke vztahu

(n je frekvence záření, k Boltzmannova konstanta, T absolutní teplota zářiče). Vzorec dobře vyhovoval pro nízké frekvence, kde se výrazně neprojevují kvantové jevy (o těch se tehdy ještě nevědělo). Naopak v oblasti vysokých frekvencí byl naprosto nepoužitelný. Později dospěl Planck (již na základě kvantových představ) k přesnějšímu vyjádření

(přibyla ještě konstanta h, nesoucí Planckovo jméno). To již vyhovuje v celé šířce spektra. Jestliže se ovšem omezíme na velmi nízké frekvence (tj. hn << kT), lze exponenciálu linearizovat, čímž se Planckův zákon zjednoduší zpět na tvar Rayleighův a Jeansův:

[Poznámka: Povšimněte si, že ze vztahu přitom vypadla Planckova konstanta, typická pro rovnice kvantové fyziky.]

q       Fyzikální rovnice a vzorce, v nichž se vyskytují matematické funkce, často linearizujeme, tj. nahrazujeme tyto funkce přímkou, konkrétně tečnou ke grafu funkce ve vhodně zvoleném bodě (obvykle v bodě 0).

q       Směrnice tečny (koeficient lineárního členu) je derivací funkce v dotykovém bodě.

q       Toto zjednodušení si můžeme dovolit jen v "rozumně malém" okolí uvažovaného bodu, kde se daná funkce od přímky ještě příliš neliší.

q       Nejčastěji používané linearizace jsou vyjádřeny přibližnými vzorci: (1 + x)n » 1 + nx, sin x » x, exp x » 1 + x, vše pro |x| << 1.

O integrálu

Vraťme se pro začátek zpátky do mechaniky. V článku o skalárním součinu jsme si už připomněli vzorec pro výpočet mechanické práce: . Je to zajisté vzorec správný, ovšem jen za dvou dosud nevyslovených předpokladů:

·           Působící síla je po celou dobu konání práce konstantní (neměnná), jak co do velikosti, tak co do směru (tzn. svírá se směrem pohybu stále stejný úhel).

·           Pohyb je přímočarý, jeho dráhu lze tudíž skutečně popsat vektorem posunutí.

Ale co dělat, když tyto předpoklady splněny nejsou? Existují přece křivočaré pohyby a také pohyby v poli proměnné síly. Jak v takových případech vyčíslit vykonanou práci? Právě pro podobné situace byl vymyšlen integrál.

Dejme si příklad. Jakou práci vykonáme při napínání pružiny? Z praxe víme, že síla, kterou pružinu napínáme, je přímo úměrná jejímu prodloužení: F = k·x (konstanta úměrnosti k je tzv. tuhost pružiny). Tedy čím více pružinu prodlužujeme, tím větší sílu musíme vyvinout. To znamená, že chceme-li pružinu prodloužit z její počáteční délky l0 na nějakou konečnou délku l = l0 + y, nevystačíme přitom s konstantní silou, naopak musíme sílu neustále zvyšovat, z počáteční nulové hodnoty až na konečnou velikost k·y, jak znázorňuje náš graf.

Je-li pružina v určitém okamžiku protažena o délku x, je působící síla právě rovna k·x. Představme si nyní, že konec pružiny posuneme ještě o "nepatrnou" délku Dx. Práce DW, kterou přitom vykonáme, je "téměř přesně" rovna Dx neboli k·x·Dx (naznačeno červeným obdélníčkem). Důvodem oné drobné nepřesnosti je to, že i během tohoto nepatrného posunu se síla poněkud změní. Chyba je ovšem tím menší, čím menší hodnotu Dx zvolíme. Na druhé straně, čím menší je Dx, tím větší množství takovýchto dílčích "příspěvků" musíme sečíst, abychom se přiblížili k celkové hodnotě vykonané práce. Úvaha, jak dospět k hodnotě přesné, je podobná jako u derivace: Bylo by možné jít s Dx až k nule? Zkusme si to představit. Čím užší intervaly zvolíme, tím menší budou jednotlivé příspěvky k celkové práci, zato však poroste jejich množství. Domyšleno do důsledku: při nulové šířce intervalu Dx bychom museli sčítat nekonečné množství příspěvků!

Integrál se skutečně někdy vysvětluje jako "součet nekonečně mnoha nekonečně malých veličin". Není v tom ovšem nic tajemného, jak by se snad někomu mohlo zdát. Jde o podobnou situaci jako u derivace (limitní přechod). Geometrická intuice nám i bez složitých výpočtů napoví, k čemu dospějeme: budou-li červené obdélníčky na našem obrázku stále užší, součet jejich obsahů bude stále bližší obsahu modrého trojúhelníka, tj. plochy pod grafem naší funkce. Ta také nejnázorněji vyjadřuje význam integrálu.

K zápisu integrálů používáme Leibnizovu symboliku: velké řecké "D" nahrazujeme malým latinským "d"; dílčí "nekonečně malý" příspěvek k práci značíme

dW = F·dx

a celkovou práci vyjádříme výrazem

.

Čteme: "Integrál kx·dx od 0 do y." Integrační znaménko ò vzniklo protažením písmene "S" jakožto zkratky slova summa (latinsky součet). Hodnoty 0 a y, napsané u jeho "paty a hlavy", jsou tzv. integrační meze; určují, v jakém intervalu se má pohybovat integrační proměnná, v našem případě x.

Než prozradíme obecnou metodu, jak integrály počítat, pokusme se najít výsledek uvedeného příkladu. Úmyslně jsem pro začátek zvolil výpočet snadný: plocha trojúhelníka je rovna

.

Obvykle nám však takto jednoduchá geometrie nepomůže. V naší úloze jsme pracovali s přímou úměrností, odborně řečeno, integrovali jsme lineární funkci. U jiných funkcí stojíme před úkolem určovat obsahy ploch omezených různými křivkami a na ty elementární geometrie často potřebné vzorce neposkytuje. Naštěstí máme k dispozici jiný nástroj, jehož pomocí snadno (alespoň v rámci potřeb střední školy) spočteme integrál přímo. Je jím tzv. Newtonova-Leibnizova věta: Integrál funkce je roven rozdílu hodnot její primitivní funkce v krajních bodech (integračních mezích).

V našem případě: Primitivní funkcí k funkci kx je funkce  (srovnej s volným pádem!), a proto

.

K úspěšnému výpočtu integrálu tedy stačí určit primitivní funkci. Nemusíme se přitom ani starat o integrační konstantu, neboť ta by tak jako tak při odečítání vypadla. Newtonova-Leibnizova věta nám takto ukazuje úzkou souvislost integrálu s primitivní funkcí. Primitivní funkci se proto někdy dokonce říká "neurčitý integrál" (na rozdíl od "určitého", což je integrál v našem smyslu slova), a jejímu hledání "integrace"; odtud též označení "integrační konstanta". Doporučuji vám však držet se standardní terminologie, tzn. rozlišovat "integrál" a "primitivní funkci". [Poznámka: Pro pořádek je třeba říci, že v matematice existují i funkce, na jejichž integraci Newtonova-Leibnizova věta nestačí. Těch se ovšem na střední škole rozhodně nemusíte obávat.]

Náš výsledek má významnou fyzikální interpretaci: nalezená primitivní funkce  je potenciální energie pružiny (Ep). Její pomocí můžeme práci vyjádřit jednoduše jako W = Ep(y) – Ep(0), tj. vykonaná práce je rovna přírůstku potenciální energie.

Výpočet mechanické práce, jaký jsme právě provedli, je typickou úlohou na použití integrálu. Ukažme si proto ještě dva příklady na podobné téma. Náš druhý výpočet integrálu se bude týkat práce v gravitačním poli. Vzorec W = mgh, vztahující se k homogennímu poli, jistě znáte, k jeho odvození integrály věru nutné nejsou. Zaměříme se proto na složitější případ nehomogenního pole, popsaného Newtonovým gravitačním zákonem:

.

Vyjádřeno slovně: gravitační síla mezi dvěma tělesy je přímo úměrná jejich hmotnostem (ty se zatím nebudou měnit) a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Jakou práci musíme vykonat, abychom jedno těleso (třeba raketu) přemístili v gravitačním poli druhého tělesa (třeba Země) ze vzdálenosti r1 (např. zemský povrch) do vzdálenosti r2 (např. oběžná dráha)? Obdobně jako v předchozím příkladu bude

.

Jelikož primitivní funkce k funkci 1/r2 je –1/r [Přesvědčte se!], je podle Newtonovy-Leibnizovy věty

.

Stejně jako předešle vyjadřuje výraz v hranaté závorce (primitivní funkce ke gravitační síle) potenciální energii gravitačního pole. Píšeme jednoduše: W = Ep2 – Ep1.

[Opakovací cvičení: Vyjádřete práci potřebnou na vyzvednutí tělesa o hmotnosti m ze zemského povrchu do výšky h za předpokladu h << RZ. Návod: Dosaďte r1 = RZ (poloměr Země), r2 = RZ + h a poté linearizujte 2. člen pomocí přibližného vzorce (viz výše).]

Do třetice si spočítejme mechanickou práci plynu, rozpínajícího se při stálé teplotě (izotermicky) z původního objemu V1 do objemu V2. Pokud by místo teploty zůstával konstantní tlak plynu (izobarický děj), práce by byla rovna W = p·(V2 – V1) = DV. Při izotermické expanzi však tlak plynu klesá podle stavové rovnice:

,

tedy nepřímo úměrně objemu (zákon Boylův-Mariottův; n je látkové množství plynu, Â univerzální plynová konstanta, T absolutní teplota). Elementární příspěvek k práci je pak roven dW = p·dV a celková práce plynu

(konstantní veličiny lze vytknout před integrál). Primitivní funkcí k převrácené hodnotě (1/V) je přirozený logaritmus (ln V). [O tom se asi jednoduchým výpočtem nepřesvědčíte, to je v tuto chvíli třeba vědět.] Je proto

.

[Poznámka: Výraz ln V, který jsme zde napsali, zdánlivě odporuje jedné z nejdůležitějších zásad popsaných v článku o veličinách, konkrétně v posledním odstavci. Ale opravdu jen zdánlivě. Je pravda, že objem jako takový logaritmovat nemůžeme. To se však také ve skutečnosti neděje. Ke konkrétnímu výpočtu je totiž určen až poslední tvar našeho výrazu, kde již – zcela ve shodě s pravidly – logaritmujeme poměr dvou objemů, tedy bezrozměrnou veličinu. Náš zápis "logaritmu objemu" lze tedy chápat jako zcela formální mezikrok, reálně se s ním nepracuje. Kdo by se s tímto vysvětlením nespokojil, může si předchozí text upravit následovně: Primitivní funkcí k 1/V je ln(V/V0), kde V0 je integrační konstanta; ta při výpočtu integrálu vypadne, takže výsledek je opět týž.]

Integrály mají ve fyzice nesmírně široké uplatnění; zdaleka není možné uvést na tomto místě všechny příklady jejich použití. Vybral jsem záměrně tři výpočty mechanické práce, první (nejjednodušší) na seznámení s pojmem a další dva na procvičení Newtonovy-Leibnizovy věty. Není nezbytné, abyste hned rozuměli všem technickým detailům výpočtu. Záměrem článku bylo, abyste pochopili význam pojmu integrál a naučili se s ním myšlenkově pracovat. Další aplikace a technická dovednost ve výpočtech přijdou časem samy.

[Cvičení: Pokuste se odvodit moment setrvačnosti tyče délky l, rotující kolem kolmé osy, procházející (a) jejím koncem, (b) jejím středem. Návod: Elementární příspěvek k momentu setrvačnosti je dJ = r2dm, kde r je vzdálenost od osy. "Diferenciál hmotnosti" dm můžete vyjádřit jako r·S·dr (r je hustota, S průřez tyče).]

Shrnuto:

q       Integrál používáme tam, kde je třeba nasčítat příspěvky nějaké proměnné veličiny. Geometricky to znamená určit obsah plochy pod grafem příslušné funkce.

q       Výpočet integrálu provádíme pomocí Newtonovy-Leibnizovy věty: najdeme primitivní funkci a odečteme její hodnoty v krajních bodech uvažovaného intervalu.

Závěrem

Účelem této kapitoly rozhodně nebylo vás vyděsit. Věřím, že se to ani nestalo. Pokud ano, nedělejte si z toho těžkou hlavu. Chtěl jsem vám jen ukázat několik užitečných nástrojů, které fyzika rutinně používá a jejichž zvládnutí vám může výrazně usnadnit studium. Zvládnete-li jednou provždy vektorový součin, nebudete si muset pamatovat všechna ta úmorná pravidla pravých a levých rukou, kterými se hemží učebnice elektřiny a magnetismu, a nebudou se vám tudíž ani plést. Naučíte-li se používat integrál, nebudete už nikdy zvědaví na legrační fráze typu "budu to sčítat po malých kouscích". Porozumíte-li derivaci, otevře se vám hlubší (a zajímavější!) pohled na většinu fyzikálních veličin a rovnic. A tak dále.

Pokud se vám něčemu porozumět nepodařilo, nevadí. Klidně pokračujte ve studiu dál. Dříve nebo později – až budete příslušnou pasáž ve fyzice probírat – si možná vzpomenete, že právě ta či ona znalost z matematiky by se vám teď hodila. Vraťte se k ní a pokuste se znovu. A ani při opakovaném neúspěchu nepropadněte pesimismu. Tato kapitola je z hlediska potřeb středoškolské fyziky lehce nadstandardní. Pamatujte ale:

q       Matematika je nejdůležitějším fyzikovým pracovním nástrojem. Čím více toho z ní budete umět, tím lehčím předmětem se pro vás fyzika stane.

Howg!

(To znamená, že na Internetu se už pokračování nedočkáte. Psát budu určitě dál, ale osud dalších kapitol závisí na tom, jestli se najde odvážný vydavatel…)