Existuje tajemství periodické soustavy prvků?

 

 

            Dne 6. března 1869 na zasedání Ruské fyzikálně-chemické společnosti četl Menšutkin Mendělejev referát na téma “Pokus o vytvoření soustavy prvků založené na jejich atomové váze a chemické příbuznosti”. V roce 1875 se tento periodický zákon potvrdil, tím že francouzský fyzik Lecoq de Boisbaudrain objevil nový prvek Galium, který Mendělejev předpověděl.

            Dnes na základě takto vytvořené tabulky se pokusíme o  matematické vyjádření její periodicity.

            Každý už nejspíš viděl klasickou periodickou tabulku prvků Obr. 1. Z ní budeme vycházet a budete překvapeni kolik skrývá zvláštností.

 

Obr. 1 Standardní periodická soustava prvků

 

Začneme tím, že se znovu podíváme na periodickou soustavu prvků obrázek 1. Chemické prvky jsou seřazeny do grup ( sloupce )  a period ( řádky ). Chemické prvky v grupách mají podobné chemické vlastnosti. Například  Grupa VIII  ( Ne, Ar ..), v ní jsou inertní plyny, prvky tak neaktivní, že nejenom téměř nikdy netvoří sloučeniny s jinými prvky, ale jejich atomy ani spolu navzájem nevytvářejí molekuly jako atomy jiných plynů.

V naší cestě za matematickým vyjádřením periodické soustavy prvku si vybereme jednu grupu. Protože je zřejmé, že tyto prvky musí mít mezi sebou nějaký vztah. Je jedno kterou grupu  použijeme, ale pro názornější a kratší  výklad použijme grupu II ( Be, Mg, Ca .. ), ke které by jsme se chtě nechtě dostali.  Do  této grupy  přidáme i He důvod uvidíte za chvilku.

Atomové čísla prvků označme Z a periodu c a vytvořme tak  tabulku (tab. 1), z které budeme chtít dostat závislost Z na c  ( Z = f(c) ).

 

c

0

1

2

3

4

5

6

Z

2

4

12

20

38

56

88

 

Tab. 1. Grupa II ( Be, Mg, Ca .. ), vztah mezi periodou a atomovým číslem

            Jak vidíte v následující tabulce ( tab. 2 ), tak řada  2, 4, 12, 20, 38, 56, 88 … je   zajímavá hned z několika  důvodů.

 

c

Z

k

 

h

 

m

 

n

 

 

 

Zc-Zc-1

2.( h2 )

 

 

kc – kc-1

 

 

 n2

0

2

2

2.( 12 )

1

2*( 12 )

2

2.(1)

1

1

1

4

2

2.( 12 )

1

2*( 12 + 12 )

0

 

 

 

2

12

8

2.( 22 )

2

2*( 12 + 12 + 22 )

6

2.(3)

3

9

3

20

8

2.( 22 )

2

2*( 12 + 12  + 22  + 22 )

0

 

 

 

4

38

18

2.( 32 )

3

2*( 12 + 12  + 22  + 22 + 32 )

10

2.(5)

5

25

5

56

18

2.( 32 )

3

2*( 12 + 12  + 22  + 22 + 32 + … )

0

 

 

 

6

88

32

2.( 42 )

4

2*( 12 + 12  + 22  + 22 + 32 + … )

14

2.(7)

7

49

 

Tab. 2 Rozložení Atomového čísla na řady

 

Zaprvé nám ukazuje, že atomové číslo Z můžeme  vyjádřit aritmetickou řadou ( šestý sloupec ). Taky je zajímané že další úroveň rozdílu je  druhým  násobkem lichého čísla tedy další řada.  Teď vyjádříme závislost  h a n  na c.

 

                                                                                             ( 1 )         

                      pro sudá c

 

              i – imaginární jednotka i2 = -1  => i2c = (-1)c                                            ( 2 )

 

Při podrobnějším pohledu na tabulku zjišťujeme že závislost Z na c můžeme získat několika cestami.  

Ø      využije  zajímavé vlastnosti že pro sudé c je  Z = h + S n2

( liché c pak Zc  = Zc-1 + 2(h2) )

Ø       nebo vlastnosti řady že pro liché c je Z = 4*( S h2  )                                  ( 3 )             

( sudé c pak Zc = Zc+1 - 2(h2) )

 

Zvolíme druhou možnost, kde řada S h2  je aritmetická řada prvního řádu a pro její řešení platí vtah  4.

 

                                                                                        ( 4 )

 

Požitím vzorců 1, 2, 3, 4 a s přihlédnutím k tomu, že budeme chtít jek sudé tak i liché Z,  dostáváme vzorec :

 

                                                                    ( 5 )

 

Dosazením vzorce 1, 2  do 5  a s využitím vlastnosti že (-1)2c = 1, ( i4c = 1) dostáváme po úpravě vztah :

 

                                                         ( 6 )

Použijeme substituci

 

x = c + 2                                                                                                         ( 7 )

                       

a z vztahu 6 dostáváme úžasně jednoduchý vztah :

 

                                      x = c+2; c Î N; i2 = -1                   ( 8 )

 

Je zajímavé že závislost Z na c lze vyjádřit nejen diskrétně jak je tomu ve vzorci  8 ale i spojitě, použijeme li  místo i2c vztah -cos [ p ( c-1)].  Dostáváme vztah  :

 

                                      x = c+2; c Î R;               ( 9 )

 

Ti pozorní si určitě uvědomili, že tento vztah popisuje jen grupu II ( Be, Mg, Ca .. ) a kladou si otázku co ostatní prvky a grupy. Řešení je primitivní, stačí odečíst grupu ( sloupec,  označíme ho l ) ve vzorci 8 nebo 9 a po dosazení substituce zpět dostáváme vzorec, který jsme hledaly a který matematicky popisuje periodickou soustavu prvků:

 

        c Î N;  i2 = -1 Þ  i2c = (-1)c       (10)

 

            Pomocí tohoto vzorce vytvoříme tabulku,  kde řádky budou představovat  periody a sloupce grupy dostáváme následující tabulku (tab. 3).

 

 

 

Grupa - l

Perioda - c

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

..

0

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

3

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

 

4

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

..

5

56

55

54

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

..

6

88

87

86

85

84

83

82

81

80

79

78

77

76

75

74

73

72

71

70

69

68

..

7

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

 

Tab. 3 Závislost atomového čísla prvku na periodě (c) a grupě (l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z této tabulky je jen krok k matematicky vyjádřené periodické soustavě prvků obr. 2 .

 

 

Obr. 2 Matematický vyjádřená periodická soustava prvků

 

            Pozoruhodné na této tabulce je, že se plně shoduje s Mendělejevem. Jen některé grupy ( sloupce )  jsou mírně posunuty a jako by jsme se na  Mendělejevovu tabulku dívaly z prava do leva.

           

Ti pozorní si určitě všimly, že jsme vynechaly ( pro přehlednost ) už jednou zjištěné prvky, nulové a záporné hodnoty atomového čísla. A že díky vzorci se dá určit i umístění nových prvků. ( doufám že se to potvrdí :o) ). Taky by možná stálo za to upozornil, že se ve vzorci vyskytují ½ hodnoty, což možná bude mít něco společného se spinem elektronu, který je taky ½ .  Ale to je zatím jen spekulace.

 

Jistě prvky můžete uspořádat prky tak, jak se vám líbí  - abecedně, podle  atomového čísla, … atd. Ale  předcházející princip je v tom, že dosadíte-li do vzorce  sloupec ( l, grupa) a řádek (c, perioda), tak vám vyjde atomové číslo prvku, který by na tomto místě měl ležet. A přitom výsledná tabulka  odráží chemické příbuznosti a atomové váhy jednotlivých prvků, tak jak to v 1869  v periodickém zákoně  předurčil Mendělejev, což je velmi zajímavé.

 

 

 

                                                                                      Ing. Martin  Doležil

martin.dolezil@email.cz.