Co vlastně rozumíme slovy zlatý řez úsečky?
Rozdělíme-li úsečku AB délky a bodem C na dvě části x a (a-x) tak, aby se poměr délek větší části x k menší části (a-x) rovnal poměru délky úsečky a k větší části x, tedy aby platilo
pak říkáme, že jsme sestrojili zlatý řez úsečky AB a poměr a:x, resp. x:(a-x), nazveme zlatým poměrem.Tento poměr označil americký matematik Mark Barr písmenem j podle počátečního písmene jména nejslavnějšího starověkého řeckého sochaře Feidia, který ve svých dílech zlatý řez používal. Hodnotu můžeme velice snadno určit. Zvolme velikost úsečky a=1 a dosaďme do rovnice zlatého řezu:
Po úpravě řešíme kvadratickou rovnici
jejíž kladný kořen je
a poměr
Záporný kořen nevyhovuje, neboť x je délka úsečky. Jeho převrácenou hodnotu (-0,61803) nazveme j' a použijeme ho k odvození zajímavých vlastností čísla j:
j má další jedinečnou vlastnost: Je to jediné kladné číslo, které zmenšené o jedničku, dává svou převrácenou hodnotu
Tento vztah dostaneme dosazením za x do kvadratické rovnice.
Zlatý poměr můžeme vyjádřit dvěma způsoby:
nebo
Z nich plynou možnosti výpočtu nebo geometrické konstrukce zlatého řezu.
Geometricky můžeme zlatý řez sestrojit různými způsoby podle toho, zda chceme úsečku AB rozdělit v poměru zlatého řezu nebo známe větší resp. menší díl úsečky AB a chceme určit úsečku AB.
Na obrázku je znázorněna úsečka AB. Na kolmici v bodě B odměříme polovinu délky úsečky AB, sestrojíme úsečku AM, okolo bodu M opíšeme kružnici o poloměru MB, okolo bodu A opíšeme kružnici o poloměru AN a pak je bod C bodem zlatého řezu úsečky AB. Tato konstrukce pochází od Heróna (1.st.př.n.l.).
Lze ji odvodit z vyjádření zlatého poměru, pro nějž platí
čili
Kladný kořen
upravíme na tvar
Výraz
sestrojíme užitím Pythagorovy věty, což je uvedená euklidovská konstrukce. Úloha má vždy jediné řešení.
Nyní si uvedeme konstrukci celkové úsečky AB, pokud známe její větší díl AC. Nad úsečkou AC sestrojíme čtverec a opíšeme kružnici se středem F o poloměru FD. Průsečík polopřímky AC a kružnice je bod B.
Jestliže známe menší díl CB, úsečku AB získáme takto. Bod G určíme podobnou konstrukcí jako v předchozím případě, kde jsme hledali bod B. Pomocí kružnice o poloměru CG, zjistíme bod A.
Ze zkušenosti víme, že vhodným překládáním a skládáním papíru dostaneme různé hračky. Těchto papírových skládanek bylo využito k řešení některých planimetrických úloh, mezi nimi i rozdělení úsečky zlatým řezem. Papír tvaru čtverce přeložíme na půl a rozložíme.
Přehyb jdoucí vrcholem B a půlícím bodem D jedné strany má délku . Potom přehneme DC na přehyb BD, čímž získáme větší část úsečky rozdělené zlatým řezem o velikosti Stranu BA přehneme na BD, kde nám ji bod C rozdělí na hledané části.
Na obrázku je nakreslen lotrinský kříž, skládající se z patnácti jednotkových čtverců.
Bodem A je vedena přímka BC, dělící kříž na dvě části o stejném obsahu. V jakém poměru rozdělí bod B úsečku DE? Polovina obsahu kříže je 7,5 a BCF má tedy obsah roven 2,5. Označíme |BD|=x a |CG|=y, potom pro D BCF platí
součet obsahů D AEB a D ACG
Po úpravě dostaneme pro x rovnici
jejíž kladný kořen je 0,61803. Bod B dělí úsečku DE zlatým řezem.
Metoda rozdělení úsečky zlatým řezem naznačuje euklidovskou konstrukci úhlu 36°. Narýsujeme oblouky se středy v bodech B a C s poloměrem AC. Jejich průnik označíme F a spojíme ho s body A,B,C. Potom úhel BAF=36°, úhel CBF=72° a úhel ACF=108°. Přímka CF je osou úhlu AFB.
Počet pravidelných mnohoúhelníků, které můžeme sestrojit v rovině, je neomezený. V trojrozměrném prostoru je počet pravidelných konvexních mnohostěnů pět.
Pythagorovci, zajímající se o takové záležitosti, považovali dvanáctistěn za hodný neobyčejné úcty a pozornosti. Za znak svého bratrstva si vybrali pěticípou hvězdu, tvořenou úhlopříčkami pravidelného pětiúhelníku, který tvoří stěny již zmíněného dvanáctistěnu. Pětiúhelník je jediný mnohoúhelník, jenž má týž počet úhlopříček jako stran, je nejnižším mnohoúhelníkem, jehož strany i úhlopříčky lze nakreslit jediným tahem.
S pětiúhelníkem se setkáváme také vždy, když si zavazujeme tkaničky. Bylo by to vidět, kdybychom měli ploché tkaničky a uzel bychom zatáhli až do konce. Sledujte uvázání uzlu na proužku papíru. Sestrojíme přesný pětiúhelník, na jehož průsvitu vidíme pěticípou hvězdu.
A jak sestrojíme pravidelný pětiúhelník pravítkem a kružítkem? Pokud známe poloměr kružnice opsané, můžeme využít zlatého řezu.
V kružnici se středem S zvolíme průměr AC a průměr BD na něj kolmý, bodem O rozpůlíme AS a opíšeme z něj část kružnice o poloměru OD, která nám protne úsečku AC v bodě E. Vzdálenost DE je hledaná velikost strany pravidelného pětiúhelníka. A nejenom to. Úsečka SE je stranou pravidelného desetiúhelníka.
Již Eudoxos (4.st.př.n.l.) znal, že platí věta:
kde značí strany pravidelného pětiúhelníka, šestiúhelníka a desetiúhelníka vepsaného témuž kruhu.
Pětiúhelník je bohatý zdroj zlatých poměrů. Snadno si ověříme následující vlastnosti.
1. Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu.
BF je větší díl úhlopříčky dělené zlatým řezem. Můžeme tedy sestrojit stranu pravidelného pětiúhelníku, je-li dána úhlopříčka.
2. Poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníka je zlatý. Poměr vyplynul při odvozování první vlastnosti.
3. Jestliže sestrojíme všechny úhlopříčky tohoto pravidelného pětiúhelníku, dostaneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník.Platí, že průsečíky úhlopříček pravidelného pětiúhelníka ABCDE jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníka KLMNO. Poměr stran pětiúhelníků je roven


Podle věty o obvodovém úhlu dělí úhlopříčky každý vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníka na tři shodné úhly. Velikost každého z nich označme a = 36°. Z konstrukce je patrno
Pětiúhelník KLMNO je pravidelný. Označme délky jeho stran x. Je-li délka strany původního pětiúhelníka ABCDE rovna jedné, platí:
Úpravou a s použitím vlastnosti dostaneme
4. Délky úseček KO, AK, AO, AD jsou členy geometrické posloupnosti:
Součet dvou po sobě jdoucích členů se rovná následujícímu, např.
Již jsme hovořili o souvislosti pravidelného desetiúhelníka a pětiúhelníka. Můžeme tedy předpokládat, že i zde nalezneme zlatý poměr.
Zkusme určit velikost strany pravidelného desetiúhelníka vepsaného do kružnice o jednotkovém poloměru.
Na obrázku vidíte rovnoramenný trojúhelník ABS. S takovým trojúhelníkem jsme se již setkali a víme, že platí
Jak jsme již uvedli v Euklidových "Základech" se objevila úloha na zlatý poměr. Máme rozdělit danou úsečku na dvě nestejné části tak, aby čtverec sestrojený nad větší částí měl stejný obsah jako pravoúhelník, jehož jedna strana má délku menší části a druhá má délku celé úsečky.
Zvolme délku úsečky rovnu a, obsah čtverce
a obsah obdélníka
Podle zadání se mají oba obsahy rovnat, tedy
což je rovnice pro nalezení poměru zlatého řezu úsečky. Strana čtverce a obdélníka jsou částmi úsečky a rozdělené zlatým řezem.
Potvrzení tohoto rozdělení nalezneme i v následujícím obrázku, kde jsme oba obrazce sestrojili.
Stačí ukázat, že vyšrafované části mají stejný obsah, neboť ostatní plochu mají čtverec i obdélník společnou. Velký obdélník rozděluje jeho úhlopříčka na dva stejné trojúhelníky, jež obsahují shodné velké černé a malé bílé trojúhelníky. Tedy zbývající vyšrafované části musí mít stejný obsah.
Nyní si zvolíme obdélník, jehož strany jsou v poměru j, a nazveme tento obdélník zlatým. Zlatý obdélník má řadu zajímavých vlastností. Můžeme ho vepsat do čtverce tak, že jeho všechny vrcholy dělí strany čtverce ve zlatém poměru.
Oddělíme-li od zlatého obdélníka ABCD čtverec AEFD, bude zbývající část opět zlatým obdélníkem. Jestliže od obdélníka EBCF oddělíme čtverec GHCF, bude zbytek EBHG opět zlatým obdélníkem atd. Koeficient podobnosti zlatých obdélníků je roven 1/j. Platí
Vidíme, že poloha následujících zlatých obdélníků se mění, obdélníky se otáčejí o pravý úhel. Body F, H, J, L..., vyznačující postupně zlaté řezy, leží na zlaté spirále.
Povšimněme si, že zlaté obdélníky se otáčejí nejen ve směru zmenšování, ale i ve směru růstu: Z obdélníka EBCF můžeme dostat obdélník ABCD a z toho opět další, stále větší zlaté obdélníky.
Graf zlaté spirály souvisí s otáčejícím se zlatým obdélníkem. Spirálu s těmito vlastnostmi nazýváme logaritmická spirála.
Délky r průvodičů jsou úměrné úhlu b, který průvodič svírá s pevnou osou.
Logaritmickou spirálu můžeme přibližně sestrojit pomocí čtvrtkružnic vepsaných do vzniklých čtverců. Skutečná spirála se nedotýká stran čtverců, ale protíná je pod velmi malým úhlem.
Úhel mezi tečnou této křivky v jejím libovolném bodě a přímkou spojující tento bod se středem spirály je stálý. Střed spirály O je průsečík úhlopříček BD a CE, které jsou k sobě kolmé. AH a FJ se protínají v bodě O a jsou osami úhlů mezi BD a CE.
Tato spirála má stále stejně velké zakřivení, což dosáhneme pouze tehdy, pokud nedodržujeme stejnou vzdálenost mezi závity (mění se velikost průvodiče), ale stále je zvětšujeme a spirála velmi rychle roste. Logaritmická spirála se zvětšuje, ale nemění tvar, roste stejně do délky i do šířky. Ať ji zvětšíme na rozměry naší galaxie nebo zmenšíme na mikroskopické rozměry, tvar logaritmické spirály se nezmění. Tento tvar nacházíme u mnoha výtvorů přírody.
Rovnoramenný trojúhelník, v němž je poměr délky ramene a základny roven j, nazveme zlatým trojúhelníkem.
V zlatém trojúhelníku jsou úhly při základně rovny 72° a úhel při hlavním vrcholu 36°.
Do daného trojúhelníku ABC vepisujeme největší možné rovnoramenné trojúhelníky, které mají rameno rovno základně předcházejícího trojúhelníku. Opět platí, že zbyde zlatý trojúhelník. Platí a |AB|=|CD|, po dosazení platí a podle definice zlatého řezu
a protože |CD|=|BD|, platí
tedy trojúhelník ABD je zlatý.
Logaritmickou spirálu můžeme sestrojit i pomocí zlatých trojúhelníků. Jejich vrcholy leží na spirále, která má střed v průsečíku těžnic Středy jejich oskulačních kružnic leží v bodech D, E, F...
Zlatým trojúhelníkem zakončíme naše hledání zlatého řezu v rovině a podíváme se do trojrozměrného prostoru.